Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

Свойства двойных интегралов.

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем (24.4)

2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

(24.5)

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то

(24.6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:

4. Если область D разбита на две области D₁ и D₂ без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

(24.7) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

где разбиение области D проведено так, что граница между D₁ и D₂ состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (24.7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

(24.8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (24.8)

6. где S_D – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M,

то (24.9)

Доказательство.

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

Следствие.

Если разделить все части неравенства (24.9) на D, можно получить так называемую теорему о среднем:

В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х₀ , у₀), в которой f(х₀ , у₀) = μ, то есть

-

- еще одна формулировка теоремы о среднем.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.

z=f(x,y)

z

V

y • P_i D Рис.2.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔS_i области D, а высотами – отрезки длиной f(P_i), где точки P_i принадлежат ΔS_i. Переходя к пределу при , получим, что

(24.11)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.

Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N₁ и N₂ (рис.1). Назовем такую область правильнойв на-

у правлении оси Оу. Аналогично определя-

y=φ₂(x)ется область, правильная в направлении

N₂оси Ох. Область, правильную в направле-

нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

y=φ₁(x) N₁

O a b x

Рис.1

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

, (24.12)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D, правильная в направлении Оу, разбита на две области D₁ и D₂ прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D₁ и D₂:

. (24.13)

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D₁ и D₂ , правильные в направлении Оу. Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D₁ и D₂ (рис.2). Обозначим через M₁ (a₁, h) и M₂ (b₁, h) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D.

y Область D₁ ограничена непрерывными линиями

y=φ₂(x) 1) y = φ₁(x);

D₂ 2) кривой А₁М₁М₂В, уравнение которой запишем

h M₁ M₂ y = φ₁*(x), где φ₁*(х) = φ₂(х) при а ≤ х ≤ а₁ и

A₁ D₁ B b₁ ≤ x ≤ b, φ₁*(х) = h при а₁ ≤ х ≤ b₁;

3) прямыми x = a, x = b.

Область D₂ ограничена линиями y = φ₁*(x),

A у = φ₂(х), а₁ ≤ х ≤ b₁.

y=φ₁(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a₁ b₁ b

Рис.2.

+

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ + .

Поскольку φ₁*(х) = φ₂(х) при а ≤ х ≤ а₁ и b₁ ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I_D = , то есть .

Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(24.14)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

I_D = f(P)S, (24.15)

где Р – точка, принадлежащая области D .

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

= (24.16)

Теорема 2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (24.17)

Доказательство.

Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей ΔS₁, ΔS₂,…, ΔS_n. Тогда по теореме 1

.

Из (24.15) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число I_D . Переходя к пределу при , получим равенство (24.17).

Пример. Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).

у Здесь а = 0, b = 1, φ₁(x) = 0, φ₂(x) = 1 – x.

Тогда

1 D

O 1 x

Рис.3.