Вычисление криволинейного интеграла первого рода

123

Если кривая L задана уравнением y = j(x), а дуга соответствует изменению x Î [a, b], то разбиение на дуги соответствует разбиению [a, b] на части точками a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Тогда , x_iÎ[x_i_-1, x_i]

(по теореме о среднем).

Тогда

Аналогично, если определена уравнением x = y(y), y Î[c, d],то

Если же дугу определяют параметрические уравнения tÎ[a,b], то

Таким образом, криволинейный интеграл I рода тоже сводится к ОИ.

Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги.

С физической точки зрения определяет массу неоднородного криволинейного стержня с плотностью r = f(x, y); то есть .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода)

2. - свойство линейности

3. Если , то = + (свойство аддитивности)

4. Если f(P) £ g(P), " то £

5. Если m £ f(P) £ M, PÎL, то m×|L| £ £ M×|L|

6. Существует точка QÎ L: = f(Q)×|L| (Теорема о среднем.)

Рассмотрим пример вычисления криволинейных интегралов I рода.

Пример 1.

Найти массу дуги параболы y² = 2x + 4 между точками пересечения с осями координат, если плотность масс в любой точке пропорциональна ординате точки дуги.

Решение:

r (x, y) = ky, y ³ 0, x = , y Î [0, 2]. Тогда

(ед. массы)

3. Криволинейный интеграл II рода

Рассмотрим пространство R². Пусть в области DÌR² определены две непрерывные функции P(x,y), Q(x,y), тогда в любой точке М(x,y) Î D определена векторная функция `F(x, y) = (P(x, y); Q(x, y)), которую в векторной форме можно записать в виде: .

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) определены в точках гладкой дуги кривой L Ì D. Разобьем дугу на части точками М₁,М₂, ...М_n. На каждой дуге возьмем произвольную точку и вычислим значение .

Пусть [a, b]и[c, d] – проекции на OX и OY соответственно, т.е. xÎ[a,b], y Î [c, d], когда М(х, у) Î . Каждую частичную дугу спроектируем на оси координат, получим разбиение отрезков [a, b]и[c, d] на n частей, длины частичных интервалов обозначим соответственно Dх_k и Dy_k. Составим интегральную сумму вида:

.

Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторы , где , т.е.

Обозначим

Определение 5.1

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается или .

Итак, криволинейный интеграл II рода

Заметим, что условие →0 равносильно условиям

В отличие от криволинейного интеграла I рода, который еще называют интегралом по длине дуги, криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам.

Свойства:

1. - меняет знак при изменении ориентации кривой (направления движения по кривой).

2. Свойство линейности, аддитивности (АВ = АС + СВ) аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода. В частности,

3. Связь между криволинейными интегралами I и II рода выражает формула: ,

где (cosa,cosb) – направляющие косинусы касательной к дуге АВ в любой ее точке.

Способы вычисления криволинейного интеграла II рода:

1) Если АВ: y = j(x), x Î [a, b], то dy = j¢(x)dx и

2) Если АВ: x = y(y), y Î [c, d],то dx = y¢(y)dy и

3) Если АВ: , t Î [a,b], dx = x¢(t)dt, dy = y¢(t)dt, то

Аналогично можно дать определение криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой

Пример 2.

Вычислить , где АВ – отрезок прямой между точками В(1, 1, 1), А(0, 0, 2).

Решение:Найдем уравнение АВ:

Тогда , значит,

Физический смысл криволинейного интеграла II рода:

определяет работу силы при перемещении материальной точки вдоль кривой L из положения А в положение В. Действительно, пусть материальная точка M(x,y) движется вдоль некоторой плоской (можно аналогично рассмотреть и пространственную) кривой L от точки A к точке B. Пусть вдоль кривой действует сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки M, т.е. сила является функцией точки: . Найдём работу A силы при перемещении точки из положения A в положение B.

Как известно, в случае, когда сила постоянна, а путь прямолинейный, работа равна (*), т.е. скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . Воспользуемся этим фактом и для решения поставленной задачи.

1) Разобьём дугу AB в направлении от точки A к точке B на n частей точками A=M₀,M₁, M₂,…, M_n=B и обозначим через вектор . Тогда

(рис.34). Пусть λ – наибольшая из длин этих векторов, т.е.

2) На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку _k(x_k,y_k) и предположим, что в пределах каждой элементарной дуги сила постоянна и равна . Тогда в силу (*), скалярное произведение можно рассматривать как приближённое значение работы A_k силы вдоль дуги .

Пусть

Тогда

3) Искомая работа A силы на всей дуге AB будет приближённо равна

и это приближённое равенство тем точнее, чем меньше λ.

4) Следовательно, истинное значение работы A силы при перемещении точки M по дуге AB получим, переходя к пределу при λ→0: = .

Рассмотрим замкнутую кривую C, будем называть ее замкнутымконтуром. Ориентацию на этой кривой выберем следующим образом: если при движении точки М вдоль кривой ограниченная этим контуром область G остается слева, то направление движения (ориентацию на кривой) будем считать положительным. В противном случае – отрицательным.