Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на интервале (a;b) функция v(x)×u'(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x)×v'(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

.

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы:

1)К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln²x; lnj(x); arcsin²x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

, ,

, ,

где a, b, a, n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)ⁿ и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.