Приложения определенного интеграла

Понятие определенного интеграла вследствие его абстрактности широко применяется при вычислении различных геометрических и физических величин.

Для вычисления некоторой величины с помощью определенного интеграла можно использовать следующие общие схемы решения.

Схема I

1. Разбиваем величину на слагаемых :

2. Выражаем приближенно каждое слагаемое в виде произведения:

где – данная или определяемая из условий задачи функция, – точка интервала , разбивающие его на равных частей с длинами .

3. Представляем приближенно значение в виде интегральной суммы:

4. Если из условия задачи следует, что погрешность этого приближенного равенства стремится к 0 при , то искомая величина выражается определенным интегралом:

Схема II

1. Пусть величина получает приращение , соответствующее изменению на малую величину , причем рассматривается как данная или определяемая из условий задачи функция от .

2. Заменив приращение дифференциалом (главная линейная часть приращения дифференцируемой функции) и – дифференциалом ( ), получим

3. Интегрируя это равенство в пределах от до , получим