Численное интегрирование.

S= .Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей.

Обозначим:

Заменим y=f(x) …… кусочно-полиномиальной функцией S(x) аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя S(x) на отрезке [a,b], получим формулу численного интегрирования – квадратную формулу.

1)если на каждом интервале [ ] (i=1,2,…,n.) заменим f(x) ступенчатой функцией

f(x) S(x) = ,

где - середина интервала

тогда т.к

и получаем квадратурную формулу прямоугольников:

(1)

2)Если f(x) на каждом отрезке [ ] заменить её на линейной интерполяции по точкам , то получим

i=1,…,n

i=1,2,…..,n

Действительно:

(т.к. ) =

Т.о. получаем квадратурную формулу трапеций:

(2)

3) Если …. S(x) , определяет собой непрерывную функцию , составленную из примыкающих парабол, можно получить квадратурную формулу Симпсона, или формулу парабол.

Пусть на отрезке [ ] парабола проходит через точки ( ),( ),( ) . Строим интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка:

(в знаменателе(первый шаг): )

i=1,2,….,n

Введем новую переменную t : t = ;

Тогда ; ;

Значениям t= 0, 1/2 , 1 соответствуют значения х ,равные .

и т.д.

Выразим S(x) через новую переменную t:

S(x)= =

= (i=1,2,….,n)

Рассмотрим, например, 1-ый член

Т.к. , а , получаем:

=

Далее, учитывая, что , получаем:

Т.о. имеем квадратурную формулу парабол:

(3)

Погрешность каждой квадратичной формулы оценивается величиной остаточного члена R(h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n):

Если f(x) имеет непрерывную производную второго порядка , то получаем:

Для формулы трапеций

Если f(x) имеет непрерывную производную 4-го порядка, то оценка погрешности формулы Симпсона:

Пример:

Найти приближенное значение интеграла с помощью квадратурных формул прямоугольников , трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования [0,1] разбит на n =2; 4 ;10 равных частей. Оценить величину погрешности полученных результатов.

Решение:

Погрешность .

Находим производные f(x):

; ; ;

;

При n=4 получим:

;

(в 200 раз точнее)

Результаты сведены в таблицу:

формула	n=2	n=4	n=10
Y (2)		Y (4)		Y (10)
прямоугольник	1.40977	0.1699	1.44875	0.0425	1.46039	0.0068
трапеция	1.57158	0.3398	1.49068	0.085	1.46717	0.0136
Симпсона	1.46371	0.0045	1.46272	0.0003	1.46265