Условия нахождения экстремума функции

Условие минимума: ,т.е. второй дифференциал >0.

Т. о. условие экстремума дает систему m+1 уравнений m+1 неизвестными

 

(3)

 

Введем обозначения:

k=(0,1,2)

Например: k=1;

тогда S1 = х0+ х1+…+ хn

t1 = х0y0+ х1 y1+…+ хn yn

t0 = х00 y0+ х10 y1+…+ хn0 yn =Σyi

S0= х00 + х10 +…+ хn0 =1+1…1 = n+1

 

Тогда система (3) примет вид:


a0 s0 + a1 s1 + a2 s2 +…+ am sm = t0

a0 s1 + a1 s2 + a2 s3 +…+ am sm+1 = t0 (4)

a0 s2 + a1 s3 + a2 s4+…+ am sm+2 = t0

a0 sm + a1 sm+1 + a2 sm+2 +…+ am s2m = t0

 

где S0 = n+1.

 

Если среди точек x0, х1,…, хn нет совпадающих и m≤n, то определитель системы (4) отличен от нуля и система имеет единственное решение a0=a0٭,a1=a1٭,…,am=am٭

Полином (1) с таким коэффициентом будет обладать минимальным среднеквадратичным отклонением Smin.

Если m=n, то Qm(x) совпадает с полиномом Лагранжа

(т.е. будет решаться задача интегрирования) и Smin=0.

,то аппроксимирования функций – более общий процесс, чем интерполирование.

 

Пример: подобрать аппроксимирующий полином второй степени

y = a0+a1x+a2x2 для данных:

 

х 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81
y 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28

m = 2

n = 4 (n+1=5)

 

Cтроим таблицу

 

X0 X X2 X3 X4 Y XY X2Y
0,78 0,608 0,475 0,37 2,5 1,95 1,52
1,56 2,434 3,796 5,922 1,2 1,872 2,921
2,34 5,476 12,813 29,982 1,12 2,621 6,133
3,12 9,734 30,371 94,759 2,25 7,02 21,902
3,81 14,516 55,306 210,717 4,28 16,307 62,28
S 11,61 32,768 102,761 341,75 11,35 29,77 94,604


Cоставляем уравнения для коэффициентов а012 :

 

5 a0 + 11.61 a1 + 32.768 a2 = 11.350

11.61 a0 + 32.768 a1 + 102.761 a2 = 29.770 (5)

32.768 a0 + 102.761 a1 + 341.750 a2 = 94.604

 

Решая систему (S) получаем:

а0=5.045; а1=4.043; а2=1,009.

Т.е. у = 5.045 – 4.043 х + 1.009 х2

 

Сопоставим некоторые значения Yi с вычисляемыми (6)

 

X Y Y ε=Y-Y
0,78 2,5 2,505 0,005
1,56 1,2 1,194 -0,006
2,34 1,12 1,11 -0,01
3,12 2,25 2,252 0,002
3,81 4,28 4,288 0,008

 

 

|ε|max=0.01

Удобнее пользоваться при оценке «качества» приближения не таблицей, а одним показателем – среднеквадратической нормой.

d (f, Qm) = ( [f (xi) – Qm(xi)] 2)1/2

Или величиной

∂ (f, Qm) = d (f, Qm)/ ║f║, где ║f║ - норма функции;

 

║f║ =

 

В нашем случае: d = ≈15*10-3 (0.015)

Еще более удобный показатель – относительное среднеквадратическое отклонение ∂

∂(f, Qm) = d (f, Qm)/ ║f║ - безразмерная величина.

 

В нашем случае ║f║ = =

∂(f, Qm) ≈2,6*10-3 = 0,0026

 

Правильнее было бы называть среднеквадратическим отклонением величину

 

 

 

 

Мы рассмотрели приближение функции обычным полиномом. Рассмотрим теперь аппроксимацию обобщенным полиномом.

Qm (х)=C0φ0 (x)+C1φ1 (x) +...+ Cmφm (x).

Теперь необходимо минимизировать сумму квадратов

n

Sm=Σ [C0φ0 (xі) + C1φ1 (xі) +...+ Cmφm (xі) – f (xі)]2

і=0

Условия экстремума дают систему уравнений

(7)

n

Введем обозначения: (φ,ψ) = Σ φ (xі) × ψ (xі)

і=0

Тогда (7) примет вид:

C0 0, φ0) + C1 1, φ0) +…+ Cmm, φ0) = (f, φ0)

C0 0, φ1) + C1 1, φ1) +…+ Cmm, φ1) = (f, φ1) (8)

C0 0, φm) + C1 1, φm) +…+ Cmm, φm) = (f, φm)

 

Из этой системы определяют коэффициенты C0, C1,…, Cm.

 

 

ЛЕКЦИЯ 16

. Функции, ортогональные на точечном множестве.

 

Функции φ (x) и ψ (x) называют ортогональными на множестве

точек x = {x0, x1, x2,…, xn}, если

n

Σ φ (xі) × ψ (xі) = 0.

і=0

 

Пример: φ (x) = 3x² - 15x + 10; ψ (x) = 2x – 5

ортогональны на множестве xі = і (і = 0,1,2,3,4,5).

Имеем: φ (0) = 10;

 

x  
φ -2 -8 -8 -2  
ψ -5 -3 -1  
φ × ψ -50 -8 -6 Σ = 0

 

Система функций {φk (x)} называется ортогональной на данном множестве X, если функции

системы попарно ортогональны между собой на этом множестве X.

Функция φ(x)≡0, естественно, ортогональна любой функции. Поэтому будем рассматривать только такие функции,

n

Σ φ² (xі) > 0

і=0

т.е. хотя бы одно значение φ (xі) ≠ 0

Система ортогональных функций {φk (x)} называется ортонормированной, если для всех k

выполнено равенство

║φk (x)║ = 1, где - норма функции φ(х)

Если {φk (x)} – система функций ортогональна на множестве Х, то система функций

k (x) ⁄ ║φkх} – ортогональная на Х.

Функции fk (x) (k = 0, 1,…,m) называются линейно независимыми на множестве Х, если они

определены на этом множестве и из равенства

λ0f0 (xі) + λ1f1 (xі) +…+ λmfm (xі) = 0 (і = 1, n)

Следует, что все постоянные λk = 0 (k = 0,m)

В противном случае функции fk (x) – линейно зависимые на Х.

Если множество Х не точечное, а континумум, т.е. х принадлежит отрезку a < х < b, то условие линейной независимости то же самое, только рассматриваются не точки xі, а множество х ? (a, b), т.е. рассматриваем условие

m

Σ λkfk (x) = 0 х ? (a, b)

k=0

Легко можно доказать лемму:

Функции φk (x) (k = 0, 1,…,m), ортогональные на множестве Х = {x0, x1, x2,…,xm} и имеющие ненулевые нормы, линейно независимы на этом множестве.

Рассмотрим систему полиномов

P0 (x), P1 (x),…, Pm (x), (1)

 

ортогональны на точечном множестве Х = {x0, x1,…,xn}, т.е.

n

Σ Pі (xі) Pk (xі) = 0 при j ≠ k (2)

і=0 2 n 2

и таких, что Sj = ║Pj║ = Σ Pj (xі) > 0 – квадрат нормы

x і=0

Пусть степень полинома Pj = j

Т.к. полином Pі (x) (j = 0, 1, 2,…,m) линейно независимые на Х поскольку они ортогональны, то любой полином Qm (x) степени не выше m может быть представлен в виде линейной комбинации полиномов (2), т.е.

Qm (x) = b0 P0 (x) + b1P1 (x) +…+ bmPm (x) (3),

где bі (i = 0,m) – некоторые постоянные числа.

Выражение (3) называется разложением полинома Qm (x) по системе (1)

Если полином Pj (x) ортогональны, то коэффициенты bk равны


k = 0, 1,…,m (4)

 

Действительно, умножим (3) на полином Pk (x) (k ≤ m) и просуммируем результат по всем xi

(i = 0,n)

n n n n 2 n

Σ Qm (xi) × Pk (xi) = b0 Σ P0 (xi) × Pk (xi) + b1 Σ P1 (xi) × Pk (xi) +...+ bk Σ Pk (xi) +...+ bm Σ Pm (xi) ×

і=0 і=0 і=0 і=0 і=0

× Pk (xi) (5)

В силу условия ортогональности из (5) следует (4), т.к. все Σ Pj (x) × Pk (x) = 0 для j≠k

Коэффициенты (4) называют коэффициентами Фурье полинома Qm (x) относительно данной системы функций Pk (x) (k = 0,m), ортогональных на Х.

n

Если система (1) ортогональна на Х, т.е. Σ Qm (xi) × Pk (xi) (6)

і=0

Теперь будем аппроксимировать заданную функцию y = f (х) полиномом Qm (x) на множестве Х.

Qm (x) = C0P0 (x) + C1P1 (x) +…+ CmPm (x),

 

где {Pk (x)} (k = 0,m), - ортогональные полиномы.

n 2

Минимизируя S m = Σ [C0P0 (xi) + C1P1 (xi) +…+ CmPm (xi) - f (хi)] ­по C1, C2,…, Cm, т.е. приравнивая

і=0

и разрешая полученную систему уравнений, получим:


k= (7)


Ck – коэффициенты Фурье функции f (x) относительно ортогональной системы {Pk (x)} на Х

Беря вторую производную , можно убедиться, что и, следовательно

Cm (Ck) – минимальна!

Т.о.

Обобщенный полином фиксированного порядка m с коэффициентами Фурье данной функции f (х) на множестве Х = {x0, x1,…,xn} – полином Фурье - обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой функции на Х по сравнению со всеми полиномами того же порядка m.

Можно показать, что для полинома Фурье

2 m 2 2

Sm = ║f (х)║ - Σ Ck × ║Pk

k=0 x

2 2 m n

Если система {Pk (x)} ортонормирована, то ║Pk║ = 1 и Sm = ║f (х)║ - Σ Ck , Ck = Σ f (хi) × Pki)

х k=0 і=0

III. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек.

Пусть дана система n + 1 равноотстоящих точек х = {x0, x1,…,xn} с шагом n. С помощью

линейного преобразования переведем эти точки в t = 0, 1, 2,…, n.

Полиномы P0, n (t), P1, n (t),…, Pm, n (t) (m ≤ n) степеней 0, 1,…, m, ортогональные на множестве {0, 1, 2,…,n} и отличные от нуля на этом множестве, называются ортогональными полиномами Чебышева.

(Pk, n (t) : k – степень полинома, n – число точек, уменьшенное на 1)

Полиномы Чебышева можно задать формулой

 

 

           
     


 

k s s s t[s]____ (1)

Pk, n (t) = Σ (-1) C C ×

S = 0 k k k + s n[s]

 

где k = 0, 1,…, m;

 

s

C - число сочетаний из k по s

k

t[s] = t × (t - 1) × (t - 2) ×...× (t-s +1)

обобщенные степени t и n

n [s] = n × (n - 1) × (n - 2) ×...× (n – s+1)

Т.о. четыре первых ортогональных полинома равны:

P0, n (t) = 1

; (n≥1) , k=1, s=1

; (n≥2) (2)

; (n≥3)

Возвращаясь к прежней переменной х, получим систему полиномов, ортогональных на множестве Х

, (k=0,1,…,m; m≤n)

Можно показать, что квадрат нормы полинома равен

 

(3) [n+k+1], [k+1] – обобщенные степени

Разделив многочлены на их нормы, мы получим нормированную систему ортогональных полиномов Чебышева

(k=0,1,2,…,m; m≤n) (4)

Пример. Получить систему полиномов до третьей степени включительно, ортонормированных на системе точек ; ; ; ; ;

Решение. Полагая , переведем точки в целочисленные точки t=0,1,2,3,4,5. Теперь в формулах (1) принимаем n=5.

Имеем ;

(k=0, n=s)

k=1, n=5 s=0 1 2 переходим к Х

1-0,4t=1-0,4*

И т.д.

 

По формуле (3) вычисляем нормы по формуле (3) получаем квадрат нормы, затем вычисляем корень, т.е. норму!

Делим полиномы на их нормы и переходим от переменной t к переменной х, получим нормированную систему ортогональных полиномов Чебышева:

Если функция Y=f(x) задана на множестве узлов с шагом h, то наилучший аппроксимирующий ее на Х полином степени m будет иметь вид:

(5)

 

 

(k=0,1,2,…,m) (6)
-коэффициенты Фурье ф-ии f(x) относительно системы ортогональных полиномов Чебышева

Из (5) и (6) следует, что полином не изменится, если ортогональные полиномы Чебышева умножить на постоянные множители, отличные от нуля. Т.к.

Поэтому часто вместо полиномов пользуются полиномами подобраны так, чтобы для целочисленных значений аргумента t значения тоже были целочисленными. Имеются (в справочной литературе) таблицы полиномов , что значительно упрощает процедуры построения полиномов .

 






Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 1786; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.137 сек.