Численное дифференцирование.

При решении многих практических задач возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции , заданной в виде таблицы или сложного аналитического выражения. В этих случаях применить непосредственно методы дифференциального исчисления либо невозможно, либо затруднительно. Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул.

Пусть на сетке для непрерывно дифференцируемой n+1+m раз функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , где h − шаг интерполяции, - узлы интерполяции. Требуется вычислить производную , .

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. В качестве интерполяционных многочленов берут многочлены Стирлинга, Бесселя, Ньютона.

Построим для функции f по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом R_n: = P_n(x) +R_n(x) и продифференцируем левую и правую части по х m раз, положив х = х*. Для достаточно гладких функций, достаточного количества узлов и достаточной точности вычислений величина , тогда получим, что

.

Получим формулы для нахождения производных плюс-минус погрешность.

Дифференцируя интерполяционный многочлен Стирлинга два раза, выразив входящие в него конечные разности непосредственно через значения функций, получим формулы для первой и второй производной в точке х₀:

, (1)

. (2)

Дифференцируя интерполяционный многочлен Бесселя, получим формулу для первой производной в точке - в середине между узлами:

. (3)

Дифференцируя первый и второй интерполяционный многочлен Ньютона, получим формулы для первой производной в точке :

, (4)

. (5)

Суммарная погрешность составляет .

Из приведенных выше формул видно, что с уменьшением шага сетки (в определенных пределах) уменьшается и погрешность метода. При вычислении производных следует определить оптимальный шаг исходной таблицы значений.

Для оптимального шага из формулы (2) получаем выражение , из формулы (3) – выражение , из формул (4) и (5) – выражение . Где .

Одним из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции в некоторых узлах строят интерполяционный многочлен в форме Лагранжа или в форме Ньютона и полагают, что . В ряде случае наряду с приближенным равенством удается получить точное равенство, содержащее остаточный член (погрешность дифференцирования). +R. Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

Приведем несколько распространенных формул численного дифференцирования с остаточными членами для первой и второй производных в узлах с постоянным шагом h. - некоторая промежуточная точка.

1) Первая производная, два узла.

,

2) Первая производная, три узла.

(6)

3) Вторая производная и три узла.

4) Вторая производная и четыре узла.

(7)

Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

В некоторых случаях для определения производных задается только таблица значений функции. Тогда оценить погрешность, очевидно, невозможно, как и подобрать оптимальный шаг. Приближенные значения производных вычисляются непосредственно по одной из формул без учета погрешности.

Пример 1.

Вычислить и для функции , заданной в виде следующей таблицы:

Оценить погрешность результата. ε = 2∙10^-4.

Решение.

Для нахождения оптимального шага, вычислим значения М₃ и М₄. Сначала найдем производные: , , , .

330,1186 5432,5584

Найдем оптимальный шаг для первой производной = 0,1.

Найдем оптимальный шаг для второй производной 0,2.

Для нахождения производных применим формулы (2) и (5).

, тогда .

Суммарная погрешность не превышает .

, тогда

Суммарная погрешность .

Пример 2.

Вычислить и для функции , заданной в виде следующей таблицы:

Решение.

Применим формулу (4). Шаг h = 0,1.

.

Применим формулу (6) без погрешности:

, тогда

Применим формулу (2).

.

Применим формулу (7) без погрешности:

, тогда .