Численное дифференцирование.

Напомним, что производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента Δx при стремление Δx к нулю

y`= f `(x)= ∆y= f(x +Δx )- f(x) (1)

В численных расчетах на ЭВМ, когда функция задана таблицей значений, значение шага Δx полагают равному конечному числу и для вычисления значений производных получают приближенное равенство

y`≈ (2)

Это соотношение называется аппроксимацией производных с помощью отношения конечных разностей (т.к. ∆y и Δx конечные в отличие от значений в формуле (1)).

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции y=f(x), заданной в табличной форме x_i= x_0, x_1… x_n y_i= y_0, y_1… y_n

Пусть шаг разности между соседними значениями аргумента постоянен и равен h. Запишем выражение в точке x=x₁

∆x=h

(3)

~0(h)

~0(h)

~0(h²)

~0(h²)

Можно найти производные с помощью формул Тейлора

f(x +Δx )= f(x)+

(1) y(x_i-1 )=y(x_i –h) = y(x)- hf `(x_i )+0(h²)

y_i-1= y_i- hf `(x_i )+0(h²)

y`(x<sub>i</sub>)=f `(x_i)= ~0(h)

(2) y(x_i+1 )=y(x_i +h) = y(x)+ hf `(x_i )+0(h²)

y_i+1=y_i+ hf `(x_i )+

y`(x<sub>i</sub>)=f `(x_i)= ~0(h)

(1) y(x_i-1 )=y_i –h y_i `+ + 0(h³)

(2) y(x_i+1 )=y_i +h y_i `+ + 0(h³)

(1)+ (2)

y_i-1+ y_i+1=2 +

= ~0(h²)

(2)- (1)

y_i+1 -y_i-1 =2hy_i `

y_i `= ~0(h²)

Можно использовать полиномы Лагранжа и Ньютона.

Метод неопределенных коэффициентов.

a=-b=-

=

И так далее.

Лекция 5