Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
(1)
Вывод формулы аналогичен 1-ой интерполяционной формуле, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств
(2)
Введем обозначение
Тогда
и так далее.
В результате получим:
(3)
Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:
х | У |
3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 |
Найти lg1044
Решение: составляем таблицу конечных разностей.
1050 | 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 | 41560 | -426 -418 -409 -401 | 8 |
Примем Тогда .
По формуле (3) получаем:
В результате все знаки верные!
Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад ( за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Операция экстраполирования менее точна!
Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона.
Если узлы интерполирования - равноотстоящие причем то , пологая , получим остаточные члены для 1-ой и 2-ой интерполяционных формул Ньютона:
(1)
, (2)
Где - некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой .
(Для интерполирования , для экстраполирования возможно, что ).
При расчетах порядок n разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и и что
можно положить:
(3)
При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны ( подставляя (3) в (1) и (2) ).
Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?
Решение: Т.к. , то где
Отсюда
, а
Из формулы (1) при n=11 и h=1 получаем:
Т.к. (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то
Окончательно получаем:
Т.о. погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!
Линейное интерполирование (h=1) возможно!!!
* * *
Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, лежащие лишь по одну сторону от выбранного начального значения
Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению. При этом используются центральные разности:
Причем:
Интерполяционные формулы с центральными разностями: формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.
.Интерполяционная формула Лагранжа.
Для произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов ) применяется интерполяционная формула Лагранжа.
На отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):
Требуется построить полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах , те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что
Рассмотрим частную задачу: построить полином , такой, что бы при
Т.е. (1)
Такой полином имеет вид:
(2)
При - условие (1)
Поэтому
И
В результате получаем:
(3)
Будем теперь искать интерполяционный полином в виде
Этот полином имеет вид:
(4)
Подставляя (3) в (4), получаем:
(5)
----- интерполяционная формула Лагранжа
Можно доказать единственность полинома Лагранжа
При n=1 имеем:
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (
При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:
(точки
Пример: Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы:
Решение: Вычисляем
По формуле (5) получаем:
Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем параболой (квадратичной).
`Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.
(6)
где
Пример1: с какой точностью можно вычислить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции , выбрав узлы интерполирования Три точки n=2.
Решение: имеем
Отсюда (т.к.
Из формулы (6) получаем:
Пример2 с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа
Точное значение
6 Обратное интерполирование
Задача обратного интерполирования: по заданному значению функции найти аргумент , при котором . Функция y=f(x) задана таблично.
Предположим, что на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей, что и y=f(x), только теперь аргументом будет значение , а -соответствующее значение функции.
В этом случае обратное интерполирование сводится к обычному интерполированию для функции x=F(y). Т.е. строится интерполяционный многочлен ( например, по формуле Лагранжа) – многочлен . При подстановке в значения - получаем .
Второй способ применим ко всякой функции f(x) ( не обязательно к монотонной!). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем по какой – либо формуле интерполяционный многочлен . Неизвестное значение находим приближенно, решая уравнение . Если число узлов велико, то этот способ нахождения приводит к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка.
Рассмотрим другой - интерполяционный метод решения уравнений.
Будем рассматривать только равноотстоящие узлы, т.е.
Пусть для определенности находится между и . Строим интерполяционный многочлен по 1-ой формуле Ньютона. Уравнение принимает вид:
(2)
Выберем начальное приближение
Подставляя в (2) последовательно получаем
Итерационный процесс прекращается, когда два соседних приближения совпадают с заданной системой точности.
Т.о. находится
Т.к. то
Пример: функция y=f(x) задана таблично
х | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
у | 1,6487 | 1,8221 | 2,0138 | 2,2255 | 2,4596 |
Найти значение , для которого =1,7333
Решение: строим таблицу конечных разностей заданной функции.
х | у | ||||
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 | 1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596 |
Т.к. т.е. , воспользуемся 1-ой интерполяционной формулой Ньютона (2), подставив в нее значения разностей из таблицы.
Получаем:
Т.к. решение ищем с точностью до 0,0001, (4-ре значащих цифры после запятой), то
- шаг по х.
ЛЕКЦИЯ 10
Сплайн – интерполяция.
(spline – рейка, планка) Механические сплайны – гибкие деревянные рейки, закрепленные на концах. В узлах (точках) интерполяции подвешивают грузила. Сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Если сплайн представить функцией S(x) , то S и непрерывны на [ ].
Кубическая сплайн – функция, удовлетворяющая условиям называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения кубическая сплайн – функция – единственная функция, обладающая свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратичную интегрируемую вторую производную.
Т.е. кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих заданные точки.
Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками
Сплайном k-ой степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше к-ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов причем в точках стыка двух интервалов функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше к
Сплайн 1-ой степени – кусочно-линейная функция (непрерывная). Производная терпит разрыв в точках излома.
Задача интерполяции функции на отрезке [a, b] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции S(x), равной многочлену третьей степени на каждом отрезке т.е. (1)
Значения сплайна в узлах интерполяции равны и сплайн-функция S(x) непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков.
В сплайне (1) неизвестные . Интервал [a, b] разбит на n участков. Т. о. имеем 4n неизвестных: (i*p) = 4n.
Уравнения (2) – (5) дают 4n – 2 уравнения. Т.о. для определения величин необходимо ввести еще каких-либо 2 ограничения. В качестве ограничений выбирается одна из 3-х пар краевых условий:
Построим сплайн, удовлетворяющий краевым условиям I типа.
Введем величины , называемые наклонами сплайна в узлах (i=0,1,..,n)
Интерполяционный кубический сплайн вида
(6)
Где удовлетворяет условиям (2) – (4) для любых
Из условия (5) и краевых условий (I) можно определить параметры .
Действительно, легко проверить, подставляя в (6) и т.д., что
С учетом выражений : (беря вторые производные от S(x) по х и подставляя и )
И краевых условий (I) и условий (S) получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных
(Приравнивая :
(7)
Решая систему (7) методом Гаусса, получаем в результате прямой прогонки коэффициенты:
(8)
Обратной прогонкой получаем результат:
(9)
Результаты (8) и (9) позволяют построить кубический сплайн (6)
Построение сплайна с учетом краевых условий (II) производится аналогично!
Точность интерполяционной функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывные производные до 3-его порядка включительно, кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых краевых условиях (I – III), оценивается неравенством:
где (10)
! Неравенство (10) дает завышенную оценку точности.
Пример: На отрезке [0, ] построить кубический сплайн с шагом , интерполирующий функцию , если заданы значения функции в трех узлах интерполяции:
x | |||
Sin(x) |
С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение и сравнить с точным значением 0,5.
Решение: Т.к. задано 2 отрезка, , то представим сплайн в виде:
Краевые условия (I) имеют вид:
Из системы уравнений (7) имеем:
Находим
Подставляем значения в (6). Получаем:
( т.к. и числа, содержащие
Аналогично:
Получаем для : (т.к.
Т. о.
Погрешность меньше !
Мы могли бы получить выражение для по формуле (8) и (9) – рекуррентные соотношения, получаемые при прямом и обратном прогоне в Методе Гаусса.
Действительно имеем:
Находим:
7 Блок – схема программ интерполяции
( Ракитин, Первушин «Практическое руководство по методам вычислений. 1998 )
Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 5209;