Графическое и численное интегрирование.
Этот метод применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме. Численное интегрирование ведётся по квадратурным формулам Ньютона-Котеса, формулам Гаусса.
При заданных значениях функций для n+1 равноотстоящих значений аргумента квадратурные формулы Ньютона-Котеса имеют вид:
правило трапеций для n шагов
правило трапеций для n=1
правило Симпсона для n=2
правило Уэддля для n=6
При вычислениях на ЭВМ используют программы, имеющиеся в каталоге конкретной машины (например, QTFG или QSF).
При графическом определении интеграла подынтегральная функция задается графиком. Для примера рассмотрим определение угла поворота выходного звена по заданной кривой , полученной экспериментально.
График угловой скорости изображается в декартовых координатах с учетом числовых значений масштабов: угловой скорости и времени . Промежуток времени от до , делится на такое количество интервалов , которое позволяет считать, что на каждом малом промежутке времени движение можно принять равномерным.
Эти промежутки времени, отмеченные на рис. 5.7 , а точками 0, 1, 2, 3, 4, не обязательно должны быть равными.
В каждом интервале времени, например от до можно приближенно считать, что
т. е. можно принять, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника высотой и основанием .
Концы средних ординат для каждого интервала проецируют на ось ординат и соединяют найденные точки 1', 2', 3' , ... , i' с точкой D, которая ограничивает слева выбранный отрезок интегрирования OD длиной К, мм (рис. 5.7, a).
Лучи D1', D2', D3', ... , проведенные через точку D, образуют углы D1’, с положительным направлением оси х, причем .
На искомом графике (рис. 5.7, б) проводят линии 01", 1"2" , 2"3" , ... , параллельные в пределах соответствующих интервалов лучам Dl', D2' , D3', ... . Первый отрезок 01" проводят через начало координат 0, следующие отрезки соответственно через точку 1", затем через точку 2" и т. д. Эти линии наклонены относительно положительного направления оси х под углами соответственно, т. е.
Отрезки на графиках связаны с соответствующими физическими параметрами с помощью масштабов соотношениями:
|
Приравнивая правые части написанных выше соотношений для тангенса угла получаем:
Откуда масштаб искомого графика:
(5.18)
Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 1412;