Конечно-разностные аппроксимации производных.

Пусть отрезок [а,b] разбит на n (n 2) равных частей.

Производные можно записывать с помощью конечных разностей:

а) разностей вперед: ;

( i=0,1,….,n-1) (1)

в) разностей назад (левые разности): ; (2)

c) центральных разностей: ;

Приближенное значение производной второго порядка в точке хi :

,

;

Т.о i=1,2,…..n-1 (3)

Погрешность аппроксимации (3) имеет порядок 0 ( ).

3. Использования интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования.

Функция у=f(x) на отрезке [a,b] разбитых на n равных интервалов, принимает значение в точках {xi} (i=0,1,2….k)

yi=f(xi) ; b=xn ; h=xi-xi-1=const.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа Lm(x) степень M:

Lm(x)=f(x k)=y k (k=i,i+1,….,i+m) i+m n.

Многочлен Lm(x) интерполирует функцию f(x) на отрезке [xi,xi+m].

Дифференцируя Lm(x), получаем значение производных в точках {xk} (k=i,i+1,…,i+m).

(Можно получить значения и в точках ,отличных от узлов.)

Если m=1 , то L1(x)-линейная функция , график которой проходит через точки (хi,yi) и (хi+1,yi+1). Тогда

L1(x)= ; L1’(x)=

Если m=2, то график L2(x) – парабола, проходящая через точки (хi,yi) , (хi+1,yi+1), (хi+2,yi+2).

L2(x)=

L2’(x)= (1)

 

L2”(x)= (2)

 

Подставляя в (1) и (2) значения х, равные хi,xi+1,xi+2:

Получим приближения производных f’(x) и f”(x) в этоих точках :

учитывая, что ;

(3)

(4)

Если функция f(x) имеет непрерывную производную до 3-го порядка включительно ,то

;

f(x) = L2(x)+ R2(x), (5)

где R2(x)- остаточный член интерполяционной формулы.

R2(x)=

Дифференцируя (5) ,получим

f’(x) = L’2(x)+ R’2(x) (6)

f”(x) = L”2(x)+ R”2(x) (7)

Здесь,

R’2(x)= ; (8)

Т.к. f”’( )=const –дифференцируем по х.

R”2(x)= ;

В точках хi,xi+1,xi+2 (т.е. в узлах) получаем (подставляя значения хi и т.д. в (8)-(9) и учитывая хi-xi+1=-h) :

R’2(xi)= (10)

R”2(xi)= , , = (11)

Т.о. равенства (10) показывают, что погрешность аппроксимации первой производной f’(x) с помощью формулы (3) имеет один и тот же порядок 0(h2). (во всех трех точках.)

На отрезке [a,b] в точках хi (i=0,1,2…,n) при n 2 рекомендуется применять следующие формулы:

i=0;

(i=1,2,…,n-1); (12)

i=n;

Погрешность аппроксимации второй производной имеет различный порядок в различных точках .(равенство(11)).Поэтому рекомендуется использовать многочлен Лагранжа третьей степени L3(x), имеющей 4 точки (узла) интерполяции. При этом погрешность во всех точках имеет один порядок h2.

Рекомендуется формулы:

i=0;

( i=1,2,….,n-1);

i=n;

Пример:

Значение функции y=sin x заданы таблицей

 

x П/6 П/3
sinx 0.5 0.866

 

Найти значения и и оценить погрешности вычислений.

Решение:

По формулам (3) или (12) получаем:

;

По формуле (10): 0< <

Т.к f(x)=sin x, то f”’(x)=-cos x.

 

. Т.о. y’0 1.05 0.09

 

По формуле (4)

 

 

По формуле (11): получаем

Т.о. y’0 -0.489 0.52. Точность явно низкая.

y”0=sin0=0

 

Следовало бы уменьшить шаг и увеличить число шагов. Затем использовать полином Лагранжа 4-ой степени и формулы (13).

 






Дата добавления: 2016-11-04; просмотров: 2832; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.02 сек.