Моделирование пространственных переменных

Поскольку доступная информация об исследуемой переменной, как правило, отрывочна, то нам потребуется модель, с помощью которой можно извлечь информацию о точках пространства, которые не были опробованы. Существует много путей определения моделей. Некоторые из них будут обсуждены ниже.

Генетические модели (Genetic models). Один из наиболее привлекательных путей развития математической модели – это моделирование процесса происхождения явления. Так как осадочные процессы являются одними из легко описываемых, Якодом и Йоасоном (Jacod and Joathon) в начале семидесятых (1970 a, b) была сделана попытка смоделировать их. К сожалению, геологические факторы, контролирующие даже простые осадочные процессы, крайне сложны и требуют многих параметров для их описания. Это еще раз доказывает трудность получения значимых оценок из-за ограниченности данных опробования. Данные проблемы заставили исследователей отказаться от этого подхода в моделировании. Новая работа, сделанная Ху, Джозеф и Дубруле (Hu, Joseph & Dubrule) (1994), по моделированию процесса восстановления размытых впадин нефтяного резервуара была более удачна, но сама идея математического моделирования процессов формирования месторождений была заброшена. Геология развития резервуаров и месторождений очень сложна и еще недостаточно изучена для такого моделирования, по крайне мере в настоящее время.

Поверхности тренда (Trend surfaces). В конце шестидесятых компьютеры стали намного более доступны, и появилась возможность выполнять сложные вычисления, включающие геостатистические методы, такие как поверхности тренда. В то время как Якод и Йоасон работали над теорией происхождения резервуара, два американца применили анализ поверхностей тренда для предсказания свойств угольных пластов. Основное предположение, лежащее в основе этих регрессионных методов, заключаются в том, что исследуемые поверхности могут быть представлены, по крайней мере локально, довольно простыми детерминированными функциями, например, полиномами с добавлением компонента случайной ошибки. Здесь “случайность” означает, что ошибка некоррелирована по отношению к разным местам поверхности и не зависит от вида функции. Сложность этого подхода демонстрирует уравнение для расчета пропорции серы в угле, выведенное Гомезом и Хазеном (Gomez and Hazen) (1970). Это уравнение содержит полином с несколькими десятками членов, а также значительное количество тригонометрических функций и экспонент. Проблема заключается в том, что геологические переменные отображают значительное количество мало масштабных процессов, которые накладываются на крупномасштабные, сравнительно достоверно описываемые уравнениями тренда. Утверждение о существовании некоррелированной ошибки означает, что функция имеет много колебаний и поворотов, что объясняет присутствие экспонент и тригонометрических выражений в выведенном уравнении. Это наводит на мысль, что возможно лучше сконцентрировать внимание на корреляции между значениями переменной в точках, расположенных на определенных расстояниях друг от друга. Это основная идея геостатистики.

Геостатистика. Термин пространственная переменная был введен Матероном (Matheron) (1963, 1965), чтобы подчеркнуть два очевидных противоречия этих типов переменных: аспект случайности, который отвечает за локальную (мелкомасштабную) нерегулярность, и структурный аспект, который отражает крупномасштабные тенденции. Общие статические модели, включающие поверхности тренда, закладывают случайность в компонент ошибки, а все структуры - в детерминированные выражения. К сожалению, это невозможно для геологического феномена. Лучший путь представления реальности – это введение случайной компоненты в выражение флуктуации вокруг установленной поверхности, названной Матероном “дрифтом” (drift), чтобы избежать любого конфликта с термином “тренд”. Флуктуации не являются “ошибками” в чистом виде, а скорее - полностью обособленным компонентом со своей собственной структурой. Первая задача геостатистического исследования – это определение данных структур, называемое “структурным анализом”. Далее геостатистик может продолжить оценивать и моделировать переменные.

Случайные функции

Наблюдаемая величина в каждой точке данных x считается одним результатом z(x) случайной переменной Z(x). Ее среднее называется дрифтом, m(x). В точках, где измерения не были сделаны, величины z(x) тоже определены несмотря на то, что они неизвестны. Они также могут считаться результатами соответствующей случайной переменной Z(x).

В математических терминах совокупность всех этих случайных переменных называется случайной функцией. (Синонимы: случайный процесс, случайное поле). Случайная функция имеет такую же связь с одной из ее реализаций, как и случайная переменная - с одним из ее результатов, исключая то, что реализация случайной функции является функцией, тогда как результатом случайной величины является число. Случайная функция характеризуется конечными пространственными распределениями, т.е. объединенными распределениями любых наборов переменных Z(x₁), Z(x₂), ..., Z(x_k), для всех k, и для всех точек x₁, x₂, ..., x_k. Невозможно сделать что-либо с этой моделью, если мы не сделаем некоторых предварительных предположений о характеристиках этих распределений. Следующий подраздел описывает наиболее общие гипотезы. До рассмотрения деталей читателю может быть будет интересно узнать, какие типы переменных могут быть смоделированы как случайные функции. В Рамке № 1 приведены некоторые наиболее общие из них.