Гипотезы стационарности и внутренняя (intrinsic) гипотеза

В статистике обычно предполагается, что переменная стационарна, если ее распределение инвариантно к смещению. Другими словами стационарная, случайная функция является однородной и повторяемой в пространстве. При любом приращении h распределение Z(x₁), Z(x₂), ..., Z(x_k) остается тем же самым Z(x₁+h), Z(x₂+h), ..., Z(x_k+h). Это делает статистический вывод законным даже на одиночной реализации функции. В самом строгом значении стационарность требует, чтобы все моменты были инвариантны к смещению, но поскольку это не может быть проверено из-за ограниченности экспериментальных данных, то обычно достаточно, чтобы только первые два момента (среднее и дисперсия) были константами. Это называется “неполной стационарностью ” или стационарностью второго порядка. Другими словами, математическое ожидание (или среднее) Z(x) должно быть константой для всех точек x.

Следовательно,

E(Z(x))=m(x)=m [2.1]

Во-вторых, ковариационная функция между двумя точками x и x+h зависит от вектора h, но не от точки x. То есть,

E[Z(x) Z(x+h)]-m²=C(h) [2.2]

Нет смысла делать предположение о дисперсии, потому что это эквивалентно равенству ковариации для нулевого интервала , C(0).

На практике часты ситуации, когда это предположение не выполняется. Понятно, что когда существует тренд, то значение среднего не может считаться константой. “Нестационарными” пространственными переменными занимается другой раздел геостатистики, который выходит за рамки этой книги. Заинтересованные читатели могут обратиться к Матерону (1973) или Делфинеру (Delfiner) (1976).

В данной работе мы будем касаться случаев, где среднее является константой. Однако, даже если это соответствует действительности, ковариация не обязательно должна существовать. Первый практический пример этого был описан Кригом (1978) для содержаний золота в Южной Африке. В разделах теоретической и практической геостатистики принято несколько смягчать условия гипотезы стационарности. Поэтому Матерон (1963, 1965) разработал “внутреннию (intrinsic) гипотезу”. Она допускает, что приращение функции является слабо стационарным. Это означает, что среднее и дисперсия приращения Z(x+h)-Z(x) существуют и не зависят от расположения точки x.

E[Z(x+h)-Z(x)]=0 [2.3]

Var[Z(x+h)-Z(x)]=2g(h) [2.4]

Функция g(h) называется полувариограммой (вариограммой - для краткости). Это основной инструмент для структурной интерпретации явления, а также – для оценивания.

Стационарные пространственные переменные всегда удовлетворяют внутренней гипотезе, но обратное - не обязательно верно. Позже в этой главе мы увидим, что, если пространственная переменная стационарна, то ее вариограмма g(h) и ее ковариация C(h) эквивалентны.

Большинство оценок, используемых в науках о Земле, являются линейными комбинациями (т.е. взвешенными движущимися средними) данных. Это верно для метода обратных расстояний и для кригинга (как это будет показано дальше) и даже для полигонального метода, где все веса, исключая единицу, равны нулю. Поэтому важно уметь вычислять дисперсию линейных комбинаций с помощью вариограммы и/или ковариационной функции. В противоположность стационарному случаю, при работе с внутренними переменными все операции выполняются только для приращений. Позже мы покажем, что дисперсия линейных комбинаций может быть вычислена только если сумма весов равна 0. Используя внутренние пространственные переменные вместо стационарных, мы должны работать с приращениями, но зона влияния полученных моделей вариограмм при этом значительно увеличивается.