Наиболее распространенные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Равномерное распределение на отрезке (для краткости говорят: X подчиняется закону ) (см. рис.):

(6)

Равномерное распределение реализуется в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на отрезке (Х – абсцисса поставленной точки), а также в экспериментах по измерению тех или иных величин с округлением (Х – ошибка округления).

0

2. Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром l (для краткости говорят: Х подчиняется закону ):

(7)

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания (например, Х – время ожидания при техническом обслуживании или Х – длительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и в теории надежности (например, Х – срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

3. Нормальный закон распределения. Случайная величина назы­вается распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с парамет­рами и > 0 если плотность распределения вероятностей имеет вид (см. рис.)

(8)

Параметры и совпадают с основными характеристиками распределения:

Для краткости говорят, что случайная величина Х распределена по закону

N (т, ), если ее плотность вероятностей записывается в виде (8). Если Х распределена по закону , то она называется стандартизованной нормальной величиной. Функция распределения стандартизованной гауссовской величины имеет вид:

(9)

С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N (т, ):

(10)

Функцию распределения можно записать в виде , где - функция Лапласа. Имеются таблицы значений этой функции.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула

(11)

В частности, , , (т. е. практически достоверно, что принимает свои значения в промежутке («правило трех сигм»)).

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению

Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка для нормального распределения равны нулю (т. к. ).

Пример. Случайная величина X подчиняется закону распределения Парето с параметрами > 0 и > 0, если она непрерывного типа и её функция распределения вероятностей имеет вид

(12)

Найти , , для распределения Парето, выразив их через параметры распределения.

◄ Находим плотность распределения вероятностей

Математическое ожидание вычисляем по формуле для случая непрерывной случайной величины:

Очевидно, математическое ожидание существует, если существует несобственный интеграл с бесконечным пределом, т. е. при > 1. В этом случае, вычисляя интеграл, получим

Для вычисления дисперсии используем формулу . Найдем второй начальный момент: ( ). Отсюда

( ).

Медиану находим как корень уравнения откуда ►