Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин

Наиболее важную роль в математической статистике играет распределение Пирсона, иначе называемое - распределением. Этому распределению подчинена сумма квадратов k независимых случайных величин:

,

(13)

каждая из которых, в свою очередь, распределена по стандартному нормальному закону. Плотность -распределения

(14)

где – гамма-функция:

.

Графики плотности - распределения приведены на рис.:

Рис. Плотность - распределения для различного числа степеней свободы

С увеличением числа степеней свободы плотность (14) приближается к плотности нормального закона. Справедлива асимптотическая формула

,

где – функция стандартного нормального распределения.

Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины:

,

(15)

где U – случайная величина, подчиненная стандартному нормальному закону, Y – случайная величина, подчиненная ‑ распределению с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента

.

(16)

Графики функции (16) для различного числа степеней свободы изображены на рис.:

Рис. Плотность распределения Стьюдента

Распределением Фишера, или F-распределением с m и n степенями свободы называется распределение случайной величины

,

(17)

где , – случайные величины, подчиненные ‑ распределениям со степенями свободы m и n, соответственно.

Плотность F-распределения:

,

(18)

где

– бета-функция.

Графики (18) изображены на рис.:

Рис. Плотность F-распределения