Числовые оценки параметров распределения

В качестве характеристик выборки значений случайной величины x в статистике рассматриваются различные средние (средняя гармоническая, средняя арифметическая, средняя квадратическая и др.), а также мода и медиана.

Модой выборки значений случайной величины x называется та варианта, которая наиболее часто встречается в выборке.

Медианой выборки значений случайной величины x называется варианта, расположенная в середине вариационного ряда этой выборки. Если выборка состоит из четного числа членов, то медиана рассчитывается как средняя арифметическая серединных элементов вариационного ряда.

Наилучшей оценкой математического ожидания случайной величины x является выборочная средняя (средняя арифметическая взвешенная):

,

а дисперсии – выборочная (статистическая) дисперсия:

,

при малых n – исправленная дисперсия:

.

Оценка стандартного (среднего квадратичного) отклонения связана с оценкой дисперсии соотношением:

.

Если выборочная средняя, мода и медиана совпадают, то выборка симметрична.

Пример.Для выборки: 6, 7, 6, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 2, 5, 2, 5, 4, 6, 6, 3, 5, 7

а) определить вариационный ряд и размах выборки;

б) построить простую статистическую таблицу и полигон частот;

в) построить интервальную таблицу и гистограмму;

г) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

д) найти выборочную среднюю, выборочную и исправленную дисперсию, моду, медиану.

◄ Упорядочивая выборку значений случайной величины получаем вариационный ряд:

2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8;

и находим размах выборки

.

От вариационного ряда переходим к простой статистической таблице:

x
m

Построим полигон частот:

Построим интервальную статистическую таблицу и по ней гистограмму:

x
w	0,10	0,05	0,15	0,20	0,30	0,15	0,05

Найдем эмпирическую функцию распределения и построим ее график:

Вычислим выборочную среднюю

,

выборочную и исправленную дисперсию

,

.

Находим выборочные моду и медиану:

,

.►