Гипергеометрическое распределение

Пусть множество из элементов содержит элементов, обладающих некоторым свойством, и элементов, которые ими не обладают. Из этого множества наудачу выбирается элементов (делается безвозвратная выборка объема ). Какова вероятность того, что среди выбранных элементов окажется ровно элементов с рассматриваемым свойством?

Эта задача играет большую роль в ряде областей практического применения вероятностных моделей в демографии, статистике населения, статистическом контроле качества продукции и др.

Очевидно, что элементарные исходы данного опыта представляют собой сочетания без повторений из элементов по . Число таких исходов = . Каждая выборка, входящая в событие ={среди отобранных элементов ровно обладают рассматриваемым свойством}, состоит из двух частей: 1) с рассматриваемым свойством и 2) ( ) без этого свойства. Все такие выборки можно получить следующим образом. Сначала составим части выборок из элементов с рассматриваемым свойством; число таких частей . Затем отдельно составим части выборок из элементов без этого свойства; число таких частей . Объединение любой части выборки из элементов с рассматриваемым свойством с любой частью выборки из элементов без этого свойства дает полный набор элементов, принадлежащих событию . Следовательно, и по формуле классической вероятности

. (5)

Здесь и далее предполагается, что при . Набор чисел , … называют гипергеометрическим распределением.

Пример. Из 20 деталей, среди которых четыре – нестандартные, наудачу выбираются шесть. Какова вероятность, что среди них не будет нестандартных?

◄ Исходное множество деталей состоит из двух частей: из 16 стандартных и из 4 нестандартных деталей. Элементарные исходы данного опыта – сочетания по 6 деталей из 20. Рассматриваемое событие: ={среди отобранных шести деталей нет нестандартных}. Применяя формулу (5), будем иметь . ►