Интегральная теорема МуАВРА-Лапласа

На практике часто нужно знать вероятность наступления события не одно определенное число раз, а вероятность того, что это число окажется заключенным в некотором интервале. Интегральная теорема Лапласа позволяет решить эту задачу.

Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенно равна

(3.4)

Значения функции Лапласа для положительных значений x (0£x£5) приведены в таблице; для значений x>5 полагают Ф(х)=0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х).

Пример 3.5.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.

Решение: Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо 76, 77 , …,100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , . Тогда

По таблице найдем Ф(1,25)=0,3944, Ф(5)=0,5.

Искомая вероятность