Деление многочлена на двучлен. Теорема Безу.

Схема Горнера

Пусть f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ÎР[х], aÎР – произвольный элемент поля Р. Тогда f(a)=a_naⁿ+a_n-1a^n-1+…+a₁a+a₀ называется значением многочлена f(x) при х=a. В частности, если f(a)=0, то a называется корнем многочлена f(x). Интересные результаты получаются при делении многочлена на двучлен, то есть на многочлен вида (х-с).

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (х-с) равен значению этого многочлена при х=с.

Доказательство

По теореме о делении с остатком можно представить

f(x)= (х-с) q(x)+ r(x) и r(x)=0 или deg r(x)< deg(х-с)=1, то есть deg r(x)=0, следовательно, r(x)= r - многочлен нулевой степени. При х=с получим

f(с)= (с-с) q(с)+ rÛ f(с)= r. Теорема доказана.

Следствие. х=a будет корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда многочлен f(x) делится на двучлен х-a нацело.

Доказательство

По теореме Безу f(a)=r. Если r=0, то f(a)=0, то есть a - корень. Обратно, если a - корень, то f(a)=0, следовательно, r=f(a)=0.

Теорема 4. Многочлен n-ой степени имеет не более n различных корней.

Доказательство. Докажем методом математической индукции по степени многочлена.

Пусть n=1, тогда f(x)=ax+b. Очевидно, найти корни многочлена – это решить уравнение ax+b=0, а так как многочлен задан над полем, то такое уравнение однозначно разрешимо при любом а¹0, то есть при n=1 теорема верна.

Предположим, что теорема верна при любом k<n, и рассмотрим многочлен n-ой степени f(x). Если f(x) не имеет корней, то теорема верна. Если f(x) имеет хотя бы один корень с₀, тогда по следствию из теоремы Безу, f(x)=(х-с₀) q(x), где q(x) - многочлен степени n-1<n. Очевидно, что любой корень многочлена f(x), отличный от с₀, является также корнем многочлена q(x) и, наоборот, любой корень многочлена q(x) является также корнем многочлена f(x), а согласно индуктивному предположению, многочлен q(x) имеет не более n-1 корня, тогда многочлен f(x) имеет не более (n-1)+1= n корней, то есть теорема верна, следовательно, она верна для любого натурального числа n.

Следствие. Пусть f(x), g(x)ÎР[х] и deg f(x)=deg g(x)= n. Если значения этих многочленов равны более, чем при n различных значениях переменной х, то f(x)=g(x).

Доказательство. Пусть

f(с₁)=g(с₁)

f(с₂)=g(с₂)

………….

f(с_n)=g(с_n)

f(с_n+1)=g(с_n+1).

Рассмотрим многочлен h(x)=f(x)-g(x). Очевидно, что степень этого многочлена меньше или равна n и h(x) имеет больше, чем n корней, следовательно, по доказанной теореме, h(x)=0Û f(x)-g(x)=0Û f(x) =g(x).

Выведем правило для вычисления коэффициентов частного при делении f(x) на (х-с). Обозначим частное q(x)= b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀ и преобразуем равенство f(x)= (х-с) q(x)+ r, считая, что f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, q(x)= b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀, r= f(с).

f(x)=(х-с)q(x)+rÛ a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=(х-с)(b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀)+f(с).

Û a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀= b_n-1xⁿ+(b_n-2-сb_n-1)x^n-1+…+(b₀-сb₁)x+(f(с)-сb₀).

По определению равенства многочленов получаем

a_n= b_n-1,

a_n-1=b_n-2-сb_n-1,

…………….,

a₁=b₀-сb₁,

a₀=f(с)-сb₀.

Откуда

b_n-1= a_n,

b_n-2= a_n-1+сb_n-1,

……………., (8)

b₀= a₁ +сb₁,

f(с) = a₀+сb₀.

Получили алгоритм вычисления коэффициентов частного при делении f(x) на (х-с), известный как схема Горнера.

Вычисления по схеме Горнера удобно записывать в виде таблицы, в верхней строке которой записывают коэффициенты делимого, а в нижней получают коэффициенты частного, вычисляемые по формулам (8).

Пример. Разделить f(x)=2x⁵+x⁴-3x²+4x-5 на g(x)=x-2. Делим по схеме Горнера.

Обратите внимание! коэффициент при х³ равен 0. При вычислении по алгоритму его нужно учитывать!

	2			-3		-5
х=2		2*2+1=5	2*5+0=10	2*10-3=17	2*17+4=38	2*38-5=71

Получили f(x)=(x-2)(2x⁴+5x³ +10x²+17x+38)+71, кроме того, на основании теоремы Безу, можно сразу сказать, что f(2)=71.

Схему Горнера удобно использовать для решения различных задач. Так, мы уже показали, как можно найти частное и остаток от деления f(x) на х-с, как можно найти значение f(с). Приведем еще несколько примеров.

Схема Горнера удобна при разложении данного многочлена по степеням двучлена . Пусть

(9)

где и . Если последнее выражение в (9) для подставить в предыдущее равенство, а затем то, что при этом получится, подставить вместо и т.д., то придем к равенству

(10)

Это есть разложение данного многочлена f (х) по степеням (x - c). Пусть Р - поле. Дифференцируя обе части равенства (10) и полагая , получим , , , ..., . Поэтому равенство (10) можно записать в виде

,

если только f - многочлен над полем нулевой характеристики. Это и есть формула Тейлора для многочленов, известная из курса математического анализа.

Все вычисления удобно расположить в одну таблицу.

	a0	a1	...	an-2	an-1	an
c	b0	b1	...		bn-1
	c0	c1	...
	d0	d1	...
	...	...	...	...	...	...
	a0

Пример. Разложить многочлен f(x)= по степеням . Найти значения функции f(x) и всех ее производных при х=1. Для этого построим таблицу.

Получили =(x-1)⁶+(x-1)⁵-10(x-1)⁴-27(x-1)³-26(x-1)²-10(x-1)-2.

Значения производных найдем из условия:

f(1)=-2; f’(1)=(-10)*1!=-10; f’’(x)=(-26)*2!=-52; f’’’(1)=(-27)*3!=-162; f^iv(1)=(-10)*4!=-240; f^v(1)=1*5!=120; f^vi(1)=1*6!=720.

Упражнение Разложить по степеням :

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , .