Плотность распределения вероятностей. Определение, вероятностный смысл, свойства.

Кроме интегральной функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей или плотности вероятности.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x), равная производной интегральной функции

(5.1)

Из соотношения (5.1) можно найти функцию распределения, интегрируя плотность вероятности в общем случае от -¥ до рассматриваемого значения х, т.е.

(5.2)

Плотность вероятности дает возможность найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (a,b).

Теорема.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (a,b), равна определенному интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:

(5.3)

Смысл плотности распределения вероятности состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Свойства функции f(x):

1. f(x)³0, т.к. плотность распределения является производной от её интегральной функции распределения, а функция распределения - неубывающая функция.

2. . В самом деле, по формуле (5.3) , а событие ‑¥<X<+¥ является достоверным событием, следовательно, его вероятность равна единице, т.е.

Р(‑¥<X<+¥ )=1, а это значит, что и .

Пример 5.2.Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси ОХ равенством .

Найти постоянный параметр С.

Решение: Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условию .

Потребуем, чтобы это условие выполнялось

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом,

Окончательно получим .