Формула полной вероятности


Теорема. Если события Н1, Н2,… Нn образуют полную группу несовместных событий и событие А может наступить лишь при условии появления одного из событий Нi (i=1,2,…,n), то имеет место формула, которая называется формулой полной вероятности:

Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Нn) Р(А/ Нn) (2.11)

 

Входящие в формулу события Н1, Н2,… Нn называют гипотезами.

Пример 2.9. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если одинаково возможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

В1 - белых шаров нет, В2 - один белый шар, В3 - два белых шара.

 
 

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны,

и сумма вероятностей гипотез равна единице, то условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было 2 белых шара, .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

.

Формула Байеса

Теорема.Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2,… Нn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

, (i=1,2,…n), где Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Нn) Р(А/ Нn).   (2.12)

 

Пример 2.10.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент сможет ответить на доставшийся ему вопрос, и вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросом.

Решение:Введем следующие обозначения для заданных величин:

Н1 – студент отличник

Н2 – студент учится хорошо

Н3 - студент учится удовлетворительно

Н4 – студент учится плохо

А – вопрос “хороший”

P(H1)=0,3 (3 из 10)

P(Н2)=0,4 (4 из 10)

P(Н3)=0,2 (2 из 10)

P(Н4)=0,1 (1 из 10)

P(A/H1)=20/20=1

P(А/Н2)= 16/20=0,8

P(А/Н3)=10/20=0,5

P(А/Н4)=5/20=0,25

Воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления P(А):

и формулой Байеса для вычисления P4/А):

.



Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 351;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.