Повторение независимых испытаний

Пусть в общем случае проводится n независимых испытаний. Поставим задачу: определить вероятность того, что в n испытаниях ровно m раз наступит событие А, если вероятность его наступления в каждом испытании равна p. Эта вероятность обозначается символом Р_n(m) и определяется по формуле:

,

(3.1)

где q=1-p

Формула (3.1) называется формулой Бернулли.

Пример 3.1.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются).

Решении:. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша . Следовательно, вероятность проигрыша . Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести.

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется число, для которого вероятность превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов испытания. Это число определяется из неравенства: . Если числа np-q и np+p – дробные, то число m₀ –единственное. Если же числа np-q и np+p – целые, то будет два значения наивероятнейшего числа m₀.

Пример 3.2.Три раза подбрасывают монету. Найти наивероятнейшее число появлений герба.

Решение:

Откуда . Следовательно, вероятнее всего, герб появится либо один раз, либо два раза.

Формула Пуассона

Формула Бернулли удобна для вычислений при сравнительно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n и малом значении вероятности p (например, n>100 и λ=np<10) хорошее приближение для формулы Бернулли дает формула Пуассона.

Теорема.Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз приближенно равна:

,

(3.2)

где l=np.

Пример 3.3.Завод отправил потребителю 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено три изделия.

Решении:. Число n=500 велико, вероятность р=0,002 мала, а произведение l=np=1. Следовательно, применима формула Пуассона .