Исследование остаточного члена при равноотстоящих узлах.

При интерполировании функций желательно, чтобы модуль Rn(x) принимал наименьшее значение. Поэтому нужно исследовать следующие вопросы.

1) При заданных узлах интерполяции, изучить для каких участков [a,b] остаточный член Rn(x) будет принимать max и min значения.

Поведение первого сомножителя в остаточном члене в зависимости от изменения x нам не известно. Тогда для решения задачи мы можем лишь следить за поведением функции при заданных узлах . Полином обращается в нуль в точках и меняет знак при переходе через каждый узел. Между узлами имеет место min и max.

Естественно ожидать, что вблизи больших по модулю экстремумов будет большая погрешность Rn(x).

Поведение можно исследовать в случае равноотстоящих узлов , положив и тогда

1)

2)

Т.к. при , то

при , то

Тогда экстремальные значения на отрезке [k,k+1] будут max по абсолютной величине на крайних точках [0,1], [n-1,n] и min в середине, следовательно имеет следующий примерный график

Следовательно, ошибка интерполяции меньше на середине отрезка и больше к концам отрезка. Вне отрезка [a,b] будет возрастать.

Лекция 3