Интерполяционный полином Ньютона для неравно отстоящих значений аргумента

Пусть f(x) ¾ некоторая функция, а x₀,x₁,…x_n ¾ узлы интерполяции, а x ¾ произвольная, но фиксированная точка значения аргумента. Тогда имеем:

=

Откуда:

Аналогично:

Откуда

продолжая этот процесс далее, получим:

Эта форма записи носит название интерполяционной многочлена Ньютона для неравных промежутков или

¾полином n-степени, ¾остаточный член.

Можно показать, что полином Ньютона и полином Лагранжа совпадают N_n(x)= L_n(x), т.е. равный их остаточный член.

Или

Полином Ньютона удобнее полинома Лагранжа тем, что при добавлении новых узлов интерполяции все проведенные вычисления в полиноме Ньютона сохраняются, а в полиноме Лагранжа нет.

Конечные разности.

В случаях когда узлы интерполяции берутся равноотстоящими

x_k=x₀+k*h k=0,1,2…n

n- шаг интерполирования, то часто вводят следующие обозначения

– конечные разности

0нисходящие

восходящие - конечная разность 2^го порядка

центральные

- конечная разность 3^го порядка

Связь конечных разностей и разделенных разностей.

Для равностоящих значений аргумента x_k=x₀+k*h имеем:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _