Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Точность аппроксимации можно повысить, если вместо линейной функции использовать алгебраический многочлен

Ln(x)= a0+ a1x+a2x2+…+ anxn

Будем искать его в виде.

(1)

где φj (x) – многочлен n, который удовлетворяет условия

В n точках полином обращается в нуль и только в одной точке i=j обращается в 1. Раз он обращается в нуль в n точках, то в нем должен быть множитель

φj (x)=Сj (x-x0 )(x-x1 )…(x-xj-1 )(x-xj+1 )… (x-xn ) (2)

где Сj – неопределенный коэффициент.

Надо потребовать, чтобы в точке i=j он обратился в 1

 

1=φj (xj)=Сj (x-x0)(x-x1 )…(x-xj-1 )(x-xj+1 )…(x-xn )

и тогда

(3)

 

Или подставляя (3)→(2) получим

(4)

Подставляя (4) в (1) получим

(5)

 

 

Lj (n)(x)

Полученный полином называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Если ввести обозначение ωn+1(x)= (x-x0)(x-x1)… (x-xn ), то полином Лагранжа заменяется в виде:

(6)

 

Lj (n)(x)

 

Тогда φj (x) и Lj (n)(x) называются Лагранжевыми коэффициентами. Составление полинома Лагранжа и вычисление его в отдельных точках в ручную довольно таки трудоемкая задача. Добавление лишнего узла приводит к пересчету всех коэффициентов. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа выглядит так

(7)

 

Тогда

f(x)= Ln(x)+ Rn(x)

 






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1482; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.011 сек.