Распределение Гумбела

В практике расчетов экстремальных значений гидрометеоро­логических характеристик различной вероятности превышения ши­рокое распространение за рубежом (главным образом в США и Франции) получили кривые обеспеченности Гумбела, основанные на законах распределения крайних членов выборки [15].

Пусть, например, имеется ряд наблюдений за стоком за п лет, представленный в виде последовательности ежедневных расходов. Тогда ежедневные расходы х_1i, х_2i, . .., x_ni в каждом i –м году мо­жно принять за последовательность значений случайной величины Х_i. Как и каждая случайная величина, величина X_i может быть описана функцией распределения

(4.76)

Предположим, что распределение стока в каждом году одина­ково и описывается показательным законом

(4.77)

Можно показать, что в приведенной формуле v равно матема­тическому ожиданию [50, 64].

Рассмотрим теперь событие, состоящее в том, что какое-то зна­чение X, равное и_п, не будет превышено в течение п лет, т. е. U_n ≥ max (X₁, X₂, . .., Х_п). Тогда очевидно, что U_n < x одновре­менно означает, что Х₁ < х, Х₂ < х, .. ., Х_п <х, т. е. данное значение х больше, чем экстремальное значение за весь период наблюдений. Отсюда, по правилу умножения вероятностей незави­симых событий, вероятность не превышения р(U_п<.х) или иначе функция распределения может быть определена по формуле

(4.78)

или с учетом формулы (4.77),

(4.79)

Mожно доказать, что среднее значение U_n должно расти с ростом п, будучи равным [50]

(4.80)

Представим значение X в отклонениях от mU_n, т. е.

(4.81)

где z — отклонение от т_Un любого знака.

Тогда

(4.82)

или, так как то

(4.83)

Как известно, при n → ∞ (1 – u/n)ⁿ= exp (-u). Отсюда, при том же условии,

(4.84)

Полученный закон распределения максимальных значений X — U_n называется двойным показательным законом распределе­ния. Общий вид этого закона

(4.85)

где у = z/v — представляет собой нормированное отклонение от моды.

По формуле (4.84) рассчитаны значения F_n (x) для различных значений у

. (4.86)

В свою очередь по значениям F_n(x) при различных значениях рассчитаны координаты функции обеспеченности Р_п(х) =1— F_n(x)

Таблица 4.1

Значения функции Р_п(х) при различных значениях y

Связь значений у и х определяется по уравнению прямой ли­нии

. (4.87)

В этом уравнении

, (4.88)

где σ_уп — среднее квадратическое отклонение значений у при дан­ном объеме выборки п, σ_х— среднее квадратическое отклонение исходного ряда X.

Значение q при известном значении α может быть рассчитано по формуле

, (4.89)

где и – среднее значение ряда Y и X.

Для расчета значений и рассчитываются координаты эмпирической кривой обеспеченности по формуле (3.89) и по фор­муле (4.85) или по таблице y = f(P) определяется последователь­ность значений у_1, y₂, ..., у_п. По полученной последовательности рассчитываются среднее и среднее квадратическое отклонение . Очевидно, что = f(n) и = f_n. Имеются специальные таблицы этих зависимостей ( [63], табл. 12).

Рис. 4.4. Кривая обеспеченности Гумбела в поле декартовых координат (а) и клетчатки вероятности (б).

Для практического применения метода Гумбела используется процедура, приводящая к построению графика зависимости иссле­дуемых максимальных величин (например, максимальные расходы) от нормированных отклонений от моды у. При этом со­вокупность точек, отвечающих на графике имеющимся наблюде­ниям, аппроксимируется в поле декартовых координат прямой ли­нией, по которой и производится экстраполяция значений макси­мального стока до значений, отвечающих заданной вероятности. Уравнение теоретической пря­мой, согласно вышеизложенному, принимается в виде

. (4.90)

а оценка эмпирической обеспе­ченности производится по фор­муле (3.70).

В практике кривые обеспеченности Гумбела строятся в поле клет­чатки вероятности для кривых с умеренной асимметрично­стью по следующей схеме:

1. По соответствующим значениям у и Р (табл.4.1) параллельно и ниже оси абс­цисс строится шкала значений у (рис. 4.5);

2. Члены исходного ряда X располагаются в убывающем по­рядке, и по формуле (3.89) рассчитываются их эмпирические обеспеченности. Рассчитанные эмпирические точки (x_i, P_i) нано­сятся в поле клетчатки вероятности. Очевидно, что в отличие от эмпирической кривой обеспеченности в декартовых координатах (по оси абсцисс y = f(P), по оси ординат — х), здесь, при C_s≠0,. кривая обеспеченности будет иметь вид кривой линии;

3. По формулам (3.20) и (3.31) рассчитывается среднее ариф­метическое значение Х и среднее квадратическое отклонение σ_х;

4. По таблице , σ_y=f(n) [64] по числу членов исходного ряда определяется среднее значение и среднее квадратичное отклонение ;

5. По формулам (4.87) и (4.88) определяются коэффициенты уравнения α и q;

6. Значения а и q подставляются в уравнение (4.89), и по раз­личным значениям у рассчитываются значения х;

7. Значения х = f(у) наносятся на клетчатку вероятностей, причем в качестве абсциссы принимается ранее построенная ось (см. рис. 4.5).

8. Вид дифференциальных и интегральных кривых распределения Гумбела представлен на рис. 4.6, Очевидно, что кривая распре­деления одномодальна, мода распределения находится в точке x = q. Значение у в этой точке равно нулю, а плотность распреде­ления, как следует из формулы (4.84), равна 0,37. При достаточно большом п (п→∞) значения и σ_у стремятся к пределу соот­ветственно 0,86 и 1,28.

Рис. 4.6. Влияние Сv на форму кривой распределения (а) и кривой обеспеченности (б) Гумбела. (1 – Сv = 0,25, 2 – Сv = 0,50, 3 – Сv = 1,0)

Параметры более высокого порядка для рассматриваемого расределения постоянны: коэффициент асимметрии С_s=1,14, эксцесс E = 2,40. Таким образом, распределение Гумбела является двухпараметрическим.

При использовании кривых обеспеченности Гумбела для расче­тов экстремальных значений стока и других гидрометеорологиче­ских характеристик необходимо иметь ввиду, что при выводе фор­мулы функции распределения были приняты следующие допу­щения.

1. Отдельные значения каждой случайной величины Xi (i =1, 2, ..., п) взаимно независимы. При расчетах стока это равно­сильно утверждению о том, что суточные расходы воды в каждом году взаимно независимы.

2. Функции распределения суточных значений стока в каж­дом году одинаковы и имеют экспоненциальный характер.

3. Число элементов выборки значений каждой случайной ве­личины X_i для применения асимптотической теории достаточно велико.

Указанные допущения, принимаемые при применении функции распределения Гумбела для рядов значений гидрометеорологиче­ских процессов, вряд ли можно считать с физической точки зре­ния достаточно обоснованными. Например, при расчете макси­мального стока утверждение о независимости ежедневных рас­ходов внутри года явно не соответствует фактическим данным, подтверждающим наличие достаточно высокой корреляции. Од­ним из следствий наличия высокой внутрирядной корреляции ме­жду суточными расходами воды является уменьшение объема не­зависимой информации, которая может быть гораздо меньше, чем число дней в году, а следовательно и недостаточна для утвержде­ния об асимптотическом приближении. Приближенным является также утверждение об одинаковом распределении расходов в каждом году.

Наконец из теоретического анализа, выполненного Г. А. Алек­сеевым [4], следует, что предельное значение третьего централь­ного момента µ₃ для кривой распределения наибольшего члена, выборки при п→∞ равно 2,40, отсюда C_sy =μ₃/σ_y³ —1,14.

Более детально отмеченные свойства кривой Гумбела на ряде примеров рассмотрены в работе [52].