Уравнение кривой плотности вероятности нормального закона распределения
Если принять F(z)=bo, то дифференциальное уравнение Пирсона (4.3) представится в виде
Так как в этом случае принимается, что b1 = b2 =.. . = 0, то из системы (4.11) следует, что радиус асимметрии d = 0, а коэффициент bо = - μ2. Отсюда
(4.12)
Проинтегрировав это выражение, получим
ln y = -z2 /(2μ2 )+C . (4.13)
В точке z = 0 c = ln y. Обозначим значение y при z=0 через y0. Очевидно, что y0 будет максимальным значением плотности вероятности, так как при всех других z ln y < ln y0 . Учитывая это, потенцируем выражение (4.13)
y=y0 ∙ exp(-z2 /(2μ2 )) (4.14)
Определим теперь максимальное значение y0 , исходя из ранее установленого соотношения( 3.17). Подставив в формулу (3.17) значение y по формуле (4.14) получаем
(4.15)
Обозначим
t=z/ (2μ2)0,5
или учитывая, что μ2=Dz = σz2,
и (4.16)
Подставив значения t и dz в формулу (4.15) , после несложных преобразований, используя интеграл Эйлера-Пуассона, получим
(4.17)
Наконец, подставив значение y0 в формулу (4.14) получим общий вид уравнения нормальной кривой распределения
(4.18)
Так как z — значение исходного ряда X в отклонениях модульных коэффициентов от единицы (см. разд. 4.2), то σz = Cv и
(4.19)
В соответствии с этим для исходного ряда X
(4.20)
Как следует из полученного выражения плотность распределения нормального закона, а следовательно и функция распределения у зависит от двух параметров: тх, σх,. Значение сs = 0.
Если вместо значений X взять значения нормированной случайной величины (см. разд. 3.1.4), то, учитывая, что σt=1 (см. раздел 3.1.6. ), получаем
(4.21)
Здесь плотность вероятности у зависит уже только от одного аргумента t. Эта зависимость может быть представлена в компактной табличной форме [64). По этой таблице производится расчет кривой плотности вероятности для любого исходного ряда X, подчиняющегося нормальному закону распределения. Переход от нормированных значений ординат к исходным выполняется в соответствии с выражением (3.53)
Впервые нормальный закон распределения был разработан для анализа погрешностей измерений. На этой основе он и получил наибольшее распространение во многих отраслях науки и техники, в том числе в геоэкологии где он широко используется для оценки точности расчетов, определения доверительных интервалов и т. д. Следует также отметить, что методы оценки параметров нормального закона распределения хорошо разработаны и доступны. Для его применения достаточно знать два параметра: тх и σx. Поэтому в практических исследованиях иногда допускается, что при описании некоторых рядов, имеющих асимметричное распределение, без особого ущерба может использоваться нормальное распределение. Однако погрешность вследствие ошибочно принятого допущения о нормальности распределения будет различной в каждом конкретном случае. Многие статистические методы, разработанные при этом допущении, остаются справедливыми в случае умеренных отклонений от него, например, дисперсионный анализ. В других методах, особенно при корреляционном анализе, это допущение может привести к серьезным погрешностям.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 392;