Логарифмически нормальное распределение
И в практике наших расчетов и за рубежом довольно часто применяется логарифмически нормальное распределение. Подробное изложение теоретических основ и приемов практического использования этого закона дается в работах Г. А. Алексеева [2] и Е. Г. Блохинова [9].
Используется две разновидности логарифмически нормального распределения. Первая из них заключается в логарифмическом преобразовании всех членов ряда наблюдений X. При этом, если значения исходного ряда х1, х2, x3, . .., хп имели область изменения от 0 до ∞ (0 ≤ х <∞) (т. е. ряд заведомо асимметричен, так как изменения ниже среднего значения ограничены 0 (х≥0), а выше – неограничены), то преобразованные значения и=lпх будут уже находиться в пределах от -∞ до ∞ (-∞ < и < ∞), т. е. область существования будет приближаться к нормальному закону распределения.
Такой подход весьма прост в техническом отношении и обладает важным принципиальным достоинством: он позволяет использовать весь арсенал достаточно хорошо разработанных методических средств нормального закона, но в то же время подобный подход неудобен тем, что при проведении анализа приходится пользоваться логарифмическим языком. В единицах логарифмов выражаются рассматриваемые величины и соответственно их параметры, в логарифмической шкале строится функция обеспеченности и производятся необходимые сопоставления и лишь в конце расчетов итоговые характеристики выражаются в натуральных единицах.
Для построения логарифмически нормальной кривой обеспеченности при логарифмическом преобразовании всех членов ряда X необходимо выполнить следующие преобразования:
1) прологарифмировать исходный ряд ui = ln xi;
2) рассчитать числовые характеристики ряда логарифмов исходных величин : математическое ожидание
(4.64)
среднее квадратичное отклонение
(4.65)
3) рассчитать ординаты нормальной кривой обеспеченности по формуле (4.20), где
(4.66)
Обычно для этого используется таблица значений нормальной кривой обеспеченности tP = f(P%) ( [64в], прилож. 2, Сs =0). По значениям tP рассчитываются значения upзаданной обеспеченности
(4.67)
и затем определяются действительные значения X
(4.68)
В ряде случаев нижний предел значений рассматриваемого ряда X существенно больше нуля. Тогда нижняя граница полученного в результате логарифмирования ряда U будет положительной. Для учета этого обстоятельства предлагается следующее преобразование:
(4.69)
где xо — нижний предел случайной величины X.
Если, как часто бывает в практике, х0 неизвестно, то при его определении исходят из положения о том, что при соответствующем подборе хо распределение U должно стать симметричным, т. е. значения Cs и μ3 должны быть равны нулю:
(4.70)
Решение уравнения (4.70) обычно производится подбором. Для этого последовательно назначают несколько значений х0 и для каждого рассчитывают значение μ3. Затем строят график зависимости μ3= f(xo) и по графику определяют то значение хo, для которого μ3 равно или близко к нулю..
Возможны такие ситуации, когда, полученное в результате расчетов, хо не имеет физического смысла. В этом случае следует или отказаться от использования данного закона распределения, или же при достаточном физическом обосновании назначить приближенное значение xо ≤ хмин, где хмин — наблюденное минимальное значение X.
Другая разновидность логарифмической модификации исходного ряда X заключается в преобразовании плотности вероятности нормального распределения.
Пусть случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения [см. формулу (4.20)]. Введем замену и =lпх. Тогда плотность вероятностей случайной величины X примет следующий вид:
(4.71)
где σи и ти уже не имеют того смысла как в исходном уравнении нормального распределения, а связаны с параметрами ряда X следующими соотношениями:
(4.72)
(4.73)
Полученное распределение имеет свойства, существенно отличающиеся от исходного нормального распределения. Так, изменение случайной величины X ограничено положительной областью. Коэффициент асимметрии связан с коэффициентом изменчивости Cv соотношением
(4.74)
Таким образом, логарифмически нормальное распределение по формуле (4.71) более асимметрично, чем распределение Пирсона III типа при Cs = 2CV.
Вид дифференциальных и интегральных кривых логарифмически нормального закона распределения представлен на рис. 4.4. Очевидно, что
кривая распределения одномодальна, мода распределения находится в точке
(4.75)
При увеличении Cv мода приближается к начальной точке х = 0 и Cs возрастает. Логарифмически нормальным распределением хорошо аппрок-
симируются эмпирические распределения случайных величин, представляющих собой произведения большого числа независимых или слабо зависимых неотрицательных величин, из которых ни одна не является преобладающей.
Рис.4.4. Влияние Сv на форму кривой распределения (а) и кривой обеспеченности (б) логарифмически нормального закона распределения.
1 – Cv = 0,25, 2 – Cv = 0,50, 3 – Cv = 1,0
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 566;