Формула Гаусса-Лагерра

До сих пор пределы интегрирования были конечные. Но обратите внимание: в квадратурных формулах Гаусса концы отрезка интегрирования не являются узлами квадратурной формулы (в отличие от формул Ньютона-Котеса). Формулы такого типа называются открытыми. Это вселяет надежду, что должны существовать квадратурные формулы для интегралов с бесконечными пределами интегрирования. И они имеются.

На луче xÎ[0,¥) свойством ортогональности с весом r(x)=x^s e^–x обладают полиномы Лагерра

,

где s – любое вещественное число, n – целое положительное число. Следовательно,

(3.21)

где x_i – корни полинома Лагерра n-ой степени. Для них тоже нет общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Коэффициенты квадратурной формулы имеют вид:

Погрешность квадратурной формулы Гаусса-Лагерра:

.

Здесь Г(x) – гамма–функция. Для целого положительного аргумента k Г(k)=(k–1)!

Например, для s=0 и n=2 формула Гаусса–Лагерра имеет вид

.