Визначення динамічних реакцій в точках закріплення осі тіла, що обертається
Розглянемо тіло, що обертається навколо нерухомої осі під дією заданих активних зовнішніх сил зі змінною за модулем кутовою швидкістю Вісь закріплена в підшипнику В і підп’ятнику А. Модулі і напрями сил реакцій і підп’ятника і підшипника залежать від заданих зовнішніх сил і стану руху тіла (рис. 16.1).
Рис. 16. 1.
Візьмемо початок координат в центрі підп’ятника А. Осі Ox, Oy, Oz пов’язані з ним і, значить, обертаються разом з тілом. Відстань між центрами підп’ятника і підшипника позначимо через h. Реакції і розкладемо по осях координат і позначимо їх складові через
Головний вектор сил інерції дорівнює:
де
(16.1)
- вектор кутового прискорення тіла,
- швидкість центра мас С тіла,
- радіус-вектор центра мас.
В такому разі
(16.2)
Головний момент сил інерції відносно полюса А (центр підшипника А) визначається за формулою:
(16.3)
де mk - маса елементарної частини тіла, - радіус-вектор елементарної частини тіла, - прискорення елементарної частини тіла:
Підставимо останній вираз в формулу (16.3):
(16.4)
Позначимо головний вектор заданих активних зовнішніх сил через і головний момент зовнішніх сил відносно полюса А через тоді згідно принципу Даламбера
(16.5)
Проектуючи векторні рівняння (16.5) на осі координат Axyz, одержимо
(16.6)
Ці рівняння складені по відношенню до рухомих осей, пов’язаних з тілом, а тому тут величини Ixz, Iyz, xС і уС є постійними.
Якщо геометрія тіла, розподіл мас і активні зовнішні сили відомі, то розв’язання задач на визначення реакцій можна проводити в такій послідовності:
1) визначимо xC, yC, М, Ixz, Iyz,
2) з шостого рівняння системи (16.6) визначаємо кутове прискорення, а потім інтегруванням обчислюємо кутову швидкість;
3) підставляємо знайдені значення ω і ε в перші п’ять рівнянь системи (16.6) і знаходимо реакції підп’ятника А і реакції підшипника В.
Ці реакції називаються динамічними реакціями. Статичні реакції визначаються рівняннями:
(16.7)
Порівнюючи ці вирази з формулами (16.6), помічаємо, що динамічні реакції включають в себе статичні реакції, але мають, крім того, доданки, які називають додатковими динамічними реакціями що виникають тільки внаслідок обертання тіла.
Представимо динамічні реакції у вигляді
(16.8)
з системи рівнянь (16.6) отримаємо такі рівняння для визначення додаткових динамічних реакцій:
(16.9)
З рівнянь (16.6) і (16.9) видно, що для того, щоб динамічні реакції дорівнювали статичним, необхідно і достатньо, щоб при ω≠0 і ε≠0 виконувались такі умови:
(16.10)
Цим рівнянням задовольняють такі значення невідомих:
(16.11)
(16.12)
Рівності (16.11) показують, що вісь обертання z повинна проходити через центр мас С тіла, а рівності (16.12) показують, що вісь обертання z повинна співпадати з однією з головних осей інерції тіла для точки А. Якщо ці умови виконані, то вісь обертання z є однією з головних центральних осей інерції тіла, і реакції в точках закріплення осі при обертанні тіла, тобто динамічні реакції, не відрізняються від статичних реакцій, які виникають в цих точках при рівновазі тіла під дією тих же активних сил. В такому разі кажуть, що тіло, яке обертається, динамічно зрівноважене на осі обертання, а вісь називають вільною віссю.
Зауваження. Для закріплення матеріалу §16 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:
1) № 42.1 - 42.4, 42.7;
2) № 42.5, 42.6, 42.8 – 42.12;
3) № 42.13, 42.15 - 42.18.
Рекомендується розв’язати також задачі № 13.2, 13.4, 13.5, 13.7, 13.8, 13.10, 13.11, 13.14, 13.15, 13.23, 13.25 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.
Питання для самоконтролю
1. Запишіть, як виражається головний вектор сил інерції через координати центра мас тіла.
2. Як визначається головний момент сил інерції для тіла, що обертається навколо осі, закріпленої в підп’ятнику і підшипнику?
3. Запишіть принцип Даламбера у векторній формі для тіла, що обертається навколо осі, закріпленої в опорах.
4. Як проектуються рівняння принципу Даламбера в цьому випадку на вісі декартових координат?
5. Сформулюйте послідовність розв’язування задач на визначення реакцій опор тіла за допомогою принципу Даламбера.
6. Які реакції називають динамічними реакціями опор?
7. З яких рівнянь визначаються статичні реакції опор?
8. Що називають додатковими динамічними реакціями і чому вони виникають?
9. Як визначаються додаткові динамічні реакції опор?
10. За яких умов статичні і динамічні реакції опор дорівнюють між собою?
11. Коли тіло, що обертається, вважають динамічно зрівноваженим на осі обертання?
12. В якому випадку вісь обертання тіла називають вільною віссю?
Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 1855;