Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

 

ВОПРОС 60. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Свойства фундаментальной системы решений.

ВОПРОС 61. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Построение общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение второго порядка:

интегрируется следующим образом:

Пусть — корни характеристического уравнения.

,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта :

  • при уравнение имеет два различных вещественных корня

Общее решение имеет вид:

  • при — два совпадающих вещественных корня

Общее решение имеет вид:

  • при существуют два комплексно сопряженных корня

Общее решение имеет вид:

 

ВОПРОС 62. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью стандартного вида. Построение частного решения по виду правой части.






Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 1791; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.