Классификация уравнений второго порядка
Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.
Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:
где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:
Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:
1. — Гиперболическое уравнение,
2. — Эллиптическое уравнение,
3. — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).
В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.
В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:
оно также может быть расклассифицирована[1] (в заданной точке ), по аналогии с соответствующей квадратичной формой:
Невырожденным линейным преобразованием
квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:
При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:
1. Если в точке квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнением эллиптического типа.
2. Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.
3. Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнением параболического типа.
В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):
1. Гиперболический тип может быть расклассифицирован на:
1. Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
2. Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть расклассифицирован на:
1. Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
2. Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
1. Нормальный гиперболически-параболический тип
2. Ультрагиперболически-параболический тип
3. Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.
ВОПРОС 59. Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.
Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 5993;