Способи визначення руху точки

Кінематика точки

Кінематика – це розділ класичної механіки, в якому вивчаються геометричні властивості механічних рухів незалежно від фізичних факторів, що спричиняють ці рухи, тобто незалежно від сил, тому її ще називають “геометрією рухів”. Кінематика безпосередньо спирається на основні положення геометрії. До цих положень приєднуються поняття про час. У кінематиці при зміні часу розрізняють такі поняття, як проміжок часу і початковий момент часу.

Проміжком часу називають перебіг часу між двома фізичними явищами.

Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу.

Початковим моментом часу називають момент часу, з якого починається відлік.

Кінематика складається з кінематики точки і кінематики абсолютно твердого тіла.

Рух тіл кінематика вивчає відносно певних систем координат. Ці системи координат вважатимемо рухомими або умовно нерухомими залежно від конкретних умов механічної задачі. Сукупність тіла відліку, з яким пов’язана система координат, і годинника називають системою відліку.

У теоретичній механіці час вважається однаковим у будь-яких системах відліку (системах координат) і не залежним від руху цих систем відносно одна одної.

Закон руху точки або тіла визначається зв’язком між довільним положенням точки чи тіла в просторі і часом. Основними характеристиками руху точки є її положення, швидкість і прискорення.

Основне завдання кінематики – вивчення законів руху матеріальних об’єктів (точок, систем точок, твердих тіл).

Законом руху матеріальної точки називається спосіб її переходу з одного довільного положення у просторі й часі в інше довільне положення.

Способи визначення руху точки

Рух точки в просторі визначається трьома основними способами: векторним, координатним і натуральним.

Векторний спосіб найчастіше застосовується в різних теоретичних дослідженнях. Виберемо в просторі умовно нерухому точку О, відносно якої маємо дослідити рух точки М (рис.1.1). Проведемо з точки О в точку М радіус-вектор . Крива, по якій рухається точка, називається її траєкторією. При зміні положення точки М на траєкторії відповідно змінюється вектор . Кожному моментові часу відповідає певне значення , тобто є функція часу:

(1.1)

Рівняння (1.1) називається кінематичним рівнянням руху точки у векторній формі.

Рис. 1.1	Рис. 1.2

Воно визначає положення точки в просторі в довільний момент часу, а отже і закон руху точки. З геометричної точки зору рівняння (1.1) можна розглядати як рівняння траєкторії точки в параметричній формі.

Розглянемо координатний спосіб. Визначимо положення точки, застосовуючи ортогональну систему декартових координат (рис.1.2). Координати точки , , однозначно визначають її положення. Кожному моментові часу відповідає сукупність координат точки М. Отже, координати точки є функції часу:

; ; (1.2)

Функціональні залежності (1.2) називають кінематичними рівняннями руху точки. Вони дають змогу визначити положення точки в просторі в довільний момент часу, тобто це є закон руху точки.

З аналітичної геометрії відомо, що (1.2) – це рівняння траєкторії точки в параметричній формі. Щоб знайти рівняння траєкторії точки в координатній формі, досить з цих рівнянь виключити параметр . Наприклад , розв’язуючи останнє рівняння системи (1.2) відносно і підставляючи це співвідношення в перші два рівняння, дістаємо :

; ; (1.3)

Рівняння (1.3) визначають траєкторію як лінію перетину двох циліндричних поверхонь, що проектують траєкторію на координатні площини і .

Крім декартової, користуються й іншими системами координат: на площині – полярною системою координат ( , ); у просторі циліндричною ( , , ), сферичною ( , , ) та іншими криволінійними системами координат. Закон руху точки в цих системах координат визначається аналогічно. Наприклад, у полярній системі координат рівняння руху точки мають вигляд

; (1.4)

Між векторним і координатним способами вивчення руху точки існує зв’язок. Для його встановлення проведемо з початку координат у точку М радіус-вектор і розкладемо його по ортах осей координат:

(1.5)

Як відомо, координати точки М дорівнюють проекціям радіуса-вектора на координатній осі (рис.1.2) . Отже ,

; ; (1.6)

Підставивши (1.6) у (1.5), дістанемо

(1.7)

Координатний спосіб визначення руху точки в просторі застосовують як у теоретичних дослідженнях, так і при розв’язуванні конкретних задач.

рис. 1.3

Натуральним способом визначення руху точки користувався ще Л.Ейлер [I]. Припустимо, що траєкторія АВ точки М відома (рис.1.3.). Виберемо фіксовану точку О на траєкторії як початкову. Умовимося вважати один напрям від початкової точки О вздовж траєкторії додатним, а протилежний від’ємним. Візьмемо певний лінійний масштаб. Положення точки на траєкторії визначимо довжиною дуги ОМ=s, тобто дуговою координатою точки. Кожному моментові часу відповідає певне положення точки на траєкторії, отже, і певне значення її дугової координати. Таким чином, дугова координата S є функція часу:

(1.8)

Рівняння (1.8) називають законом руху точки по траєкторії. Закон руху точки в просторі визначається сукупністю всіх даних: траєкторію точки, положенням початкової точки О, додатним і від’ємним напрямами відліку, масштабом для вимірювання S і рівнянням (1.8).

Натуральний спосіб визначення руху точки в просторі застосовують і в різних теоретичних дослідженнях, і при розв’язуванні конкретних задач. Особливо доцільно його застосовувати, коли відомі форма і положення в просторі траєкторії точки.

Розглянемо поняття про шлях, який проходить точка М. Зауважимо, що слід розрізняти дугову координату S і шлях , що його проходить точка за проміжок часу .Щоб визначити шлях , розкладемо проміжок часу на проміжки (1,2,...,n) так, щоб протягом кожного проміжку точка рухалась в одному напрямі. Нехай кожному проміжкові часу відповідає приріст дугової координати . Шлях визначається так:

= (1.9)

Зрозуміло, що шлях є монотонно зростаюча функція часу.

Звичайно, між натуральним способом визначення руху точки і першими двома способами існує зв’язок. Не вдаючись до подробиць, зауважимо, що радіус-вектор точки при натуральному способові визначення руху точки можна розглядати як функцію дугової координати s, тобто як складну функцію часу:

(1.10)

(1.11)

Зв’язок між натуральним і координатним способами визначення руху легко знайти, обчислюючи за відомими формулами диференціальної геометрії елемент дуги ds траєкторії:

(1.12)

Вибір знака кореня відповідає виборові додатного напряму відліку дугової координати при незмінному напрямі руху точки по траєкторії.