Годограф векторної функції

Введемо поняття про годограф функції . Це поняття для векторної функції аналогічне поняттю графіка скалярної функції . Якщо - неперервна функція, то неперервній зміні аргумента відповідає неперервна зміна функції . Ця зміна визначається графіком (рис.1.4).

Рис. 1.4

Розглянемо векторну функцію . Надаючи аргументові значення , дістанемо відповідні значення функції . Проведемо з фіксованої точки О вектори . Якщо аргумент змінюється неперервно, то кінці перенесених векторів утворюють суцільну криву, що називається годографом векторної функції. Щоб знайти рівняння годографа, досить вибрати довільну ортогональну систему координат з початком у точці О і знайти проекції вектора на ці координатні осі.

Рівняння

; ; (1.13)

є скалярні рівняння годографа векторної функції .

Розглянемо питання про похідну від функції . Похідною векторної функції називатимемо змінний вектор, що означається рівністю

; (1.14)

якщо границя в правій частині (1.14) існує.

Доведемо, що похідна є вектор, напрямлений по дотичній до годографа функції .

рис. 1.5

Розглянемо приріст аргумента і відповідний йому приріст функції . Певному значенню функції відповідає точка М, її годографа (рис.1.5). Векторові відповідає точка годографа. Відношення є вектор, напрямлений по січній годографа функції . Якщо , а точка , то січна наближається до дотичної в точці М. Отже, вектор напрямлений по дотичній до годографа функції .

Як відомо, похідна від скалярної функції визначає напрям дотичної до графіка функції, а її фізичний зміст полягає у визначенні темпу зміни функції залежно від зміни аргументу. Отже, фізичний зміст похідної векторної функції можна вважати аналогічним – похідна векторної функції визначає темп зміни вектора і напрямлена по дотичній до годографа функції .