Формула Муавра, степень. Корни.

Возводить комплексные числа в степень можно с помощью такой формулы:

она называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа

Доказательство.Если умножим в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получим:

= .

Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на .

=

=

Таким образом, по индукции, можно доказать, что

= .

Но ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа: , здесь даже доказывать по индукции нет необходимости.

Пример. Найти по формуле Муавра.

Вычислим модуль и аргумент.

.

Таким образом, соответствующая точка расположена в первой четверти на пересечении биссектрисы угла и единичной окружности.

По формуле Муавра, = = = 16.

В показательной форме: = = = 16 .

Корень порядка n вычисляется по такой формуле:

Доказательство.Если возведём в степень n, получим = .

Добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящие на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть в аргументу добавится 360 градусов, и придёт в ту же точку, что и без .

Пример. Найдите все значения корня .

Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.

Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .

Теперь находим все 3 корня.

при k = 0,1,2. , отсюда:

1) = =

2) = =

3) = =

Чертёж:

Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.

Квадратных корней два, а именно . Это происходит по той же причине: если число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть

= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.