Формула Муавра, степень. Корни.
Возводить комплексные числа в степень можно с помощью такой формулы:
она называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа
Доказательство.Если умножим в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получим:
= .
Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на .
=
=
Таким образом, по индукции, можно доказать, что
= .
Но ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа: , здесь даже доказывать по индукции нет необходимости.
Пример. Найти по формуле Муавра.
Вычислим модуль и аргумент.
.
Таким образом, соответствующая точка расположена в первой четверти на пересечении биссектрисы угла и единичной окружности.
По формуле Муавра, = = = 16.
В показательной форме: = = = 16 .
Корень порядка n вычисляется по такой формуле:
Доказательство.Если возведём в степень n, получим = .
Добавка после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящие на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть в аргументу добавится 360 градусов, и придёт в ту же точку, что и без .
Пример. Найдите все значения корня .
Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.
Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .
Теперь находим все 3 корня.
при k = 0,1,2. , отсюда:
1) = =
2) = =
3) = =
Чертёж:
Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого в формуле.
Квадратных корней два, а именно . Это происходит по той же причине: если число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле то есть
= = , что и соответствует при и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов.
Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 606;