Поиск корней многочлена с отрицательным дискриминантом.
Пример.Найти корни уравнения .
Решение. , = = = .
Ответ. .
Кстати, как видно, получаются именно 2 взаимно сопряжённых корня.
Проверка. Подставим, например, в уравнение.
= = = .
Действительную и мнимую часть для числа можно выразить через .
Докажем такие формулы: ,
Доказательство.
Сложим и .
= , тогда .
Вычтем и .
= , тогда .
Тригонометрическая форма комплексного числа.Введём величину тогда можно представить в таком виде: , для некоторого , ведь геометрически в этом случае - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза.
Абсцисса и ордината точки на плоскости это проекции на оси, они равны и соответственно. Эти величины и и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число с помощью введённых выше величин и , получим: = = .
Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.
.
Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат.
Для любой точки модуль вычисляется как . Для вычисления аргумента верна формула если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти.
Так, число запишется в виде .
Число соответствует .
Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:
= = .
Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или (если оно отрицательно).
Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .
Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 556;