Вычисление производной в точке возможно 2-мя способами.

Пример.Для найти .

Решение. Способ 1.

Производная как от единой функции :

= , что в точке равно .

Способ 2.

По компонентам , достаточно лишь :

= = ,

в точке означает что в , т.е. данные функции надо вычислить в точке , что составляет .

Теорема 2. дифференцируемая функция векторные поля

и являются потенциальными.

Доказательство.Вспомним условие потенциальности поля , а именно, . Для векторного поля в таком случае, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно первому условию Коши-Римана .

Для векторного поля соответственно, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно второму условию Коши-Римана: .

.

Определение.Если функция дифференцируема и в самой точке , и во всех точках некоторой её окрестности, то она называется аналитической в точке .

Пример.Для функции условия Коши-Римана выполняются независимо от точки, то есть во всех точках плоскости, тогда для каждой точки они автоматически выполнены и во всей её окрестности. Таким образом, аналитическая во всех точках комплексной плоскости.

Различие понятий аналитичности и дифференцируемости видно на другом примере.

Пример. . Распишем её через .

= = . Здесь , .

, .

1-е условие Коши-Римана выполняется только при

, .

2-е условие Коши-Римана выполняется только при .

Таким образом, единственная точка в плоскости, где выполнены условия Коши-Римана, это (0,0). Но ни в одной точке из её окрестности они не выполняются, а только в одной изолированной точке . То есть, в начале координат функция дифференцируемая, но не аналитическая.

Теорема 3.Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой) в этой области выполняется уравнение Лапласа:

и .

Доказательство.

Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по переменной , а второе по :

.

Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от при этом совпадают, они вычитаются и дают 0.

. Итак, .

Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцируем по , а второе по .

.

Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е.

, тогда .

Пример. = . Здесь для не верно уравнение Лапласа: .

Пример. = . Уравнение Лапласа для обеих частей функции:

1) , , в сумме 0.

2) , , 0+0=0.