Дифференцирование комплексных функций

Функция фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел отображается в пару чисел . Для двух функций и существуют 4 частных производных: .

Определение производной. Производной функции в точке называется следующий предел: .

Также можно кратко записать в виде .

Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел.

Определение дифференцируемости.Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где некоторое комплексное число, - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Заметим, что если функция дифференцируема, то , но тогда т.е. тогда , т.е. константа .

Геометрический смысл производной.Так как с точностью до бесконечно-малой, можно представить , а это линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и поворота, где это угол поворота, а - коэффициент растяжения.

Изучим взаимосвязь дифференцируемости с дифференцируемостью координатных функций и .

Теорема 1. Функция дифференцируема и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана:

и .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема, выведем условия Коши-Римана. Запишем подробнее равенство из определения дифференцируемости: . .

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в которых нет мнимой единицы.

Получается такая система из двух равенств:

Выразим константу двумя способами из этих равенств. Если в 1-м уравнении задать приращение только по оси , тогда , то = , так как бесконечно малая более высокого порядка, так что при делении на величину первого порядка предел равен 0.

Итак, .

Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , то аналогично получится = , т.е. . Итак, .

По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси , а во 2-м по , получим

, , откуда второе условие Коши-Римана .

Достаточность.

Пусть выполнены условия Коши-Римана и .

Тогда производная матрица отображения содержит не 4 разных константы, а две из них выражаются через две другие, то есть матрица имеет вид: .

Тогда, с точностью до бесконечно-малых, .

Тогда

,

Сложим эти 2 равенства, умножив при этом второе на . Получим:

, то есть , что и означает дифференцируемость .

Теорема доказана.

Вывод. Итак, и должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции , и составим из них , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.

Пример.Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

= = = .

, .

, они равны (1-е условие Коши-Римана).

, они противоположны ( а это и есть

2-е условие Коши-Римана).

А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана.

Пример. . Тогда , . Не выполняется 1-е условие: , , они не равны ни в одной точке. Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости .