Умножение и деление в тригонометрической форме


 

В тригонометрической форме:

Докажем эту формулу.

= =

=

используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим .

Таким образом, для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, достаточно просто умножить их модули и сложить аргументы.

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .

Для её доказательства достаточно домножить на :

= = =

.

 

Для деления двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, нужно поделить их модули и вычесть аргументы.

Заметим, что при умножении на мнимую единицу , а именно при действии , фактически вектор на плоскости переходит в , то есть как раз и прибавляется аргумент числа , то есть 90 0.

 

Примеры.

Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:

= = .

В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).

= . = .

= =

= =

= .

Поделить .

= , = . Тогда

= =

= = .

 

Формула Эйлера

Доказательство.

Способ 1.

Производная по :

= = .

Способ 2. Вспомним разложение экспоненты по формуле Тейлора.

Тогда вычислим

Но ведь , , , ...

Тогда теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

но ведь в 1 и 2 скобках - разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.

 

 

= ,

= = ...

Воспользуемся чётностью cos и нечётностью sin. Тогда:

= .

 

Для любого числа можно вычислить :

= = = = .

Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:

= = = = .

То есть, сопряжённое под знаком экспоненты приводит к сопряжённому результату.



Дата добавления: 2020-03-17; просмотров: 732;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.