Интегральное исчисление. Несобственные интегралы.

Возможен случай, когда криволинейная трапеция не ограничена, то есть не может быть вписана в круг некоторого конечного радиуса, а бесконечно вытянута вправо или вверх. Но при этом может быть конечная площадь. Начнём с некоторых примеров:

Пример. Вычислить .

Решение. Такой интеграл можно рассматривать как предел интегралов вида при . Если вычислить то получится . Предел .

Несмотря на неграниченность трапеции под интегралом, площадь конечна. Здесь область определения D(f) не является ограниченной. Тем не менее, трапеция слишком узкая, т.е. её ширина убывает достаточно быстро, чтобы площадь не превысила некоторое число. Так может быть, к примеру, если площади криволинейных трапеций между соседними целыми абсциссами убывают со скоростью сходящейся геометрической прогрессии.

Но есть также примеры, в которых предел бесконечен:

Пример = = = = = .

Определение. Если функция определена и непрерывна на , то предел называется несобственным интегралом 1-го рода от функции , и обозначается .

Если предел существует и является конечным числом, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл сходящийся, а расходящийся.

Пример. = = 1.

Область значений E(f) не является ограниченной. При вычислении мы даже и не заметили, что функция неограниченная в окрестности точки 0, т.е. . Так как первообразная ограниченная, и в неё можно просто подставить и . Вот график этой функции:

можно рассматривать как предел .

Определение. Если функция определена и непрерывна на и при этом предел , то называется несобственным интегралом 2-го рода от функции , и обозначается .

Если функция определена и непрерывна на и при этом предел , то называется несобственным интегралом 2-го рода от функции .

Итак, если неограниченная D(f), то интеграл называется несобственным интегралом 1-го рода, а если E(f) то несобственным интегралом 2-го рода.

Кстати, для сравнения, геометрическая прогрессия также бывает сходящейся либо расходящейся. Если площадь такой бесконечно вытянутой криволинейной трапеции разбить на части по целым числам, например от 1 до 2, от 2 до 3 и так далее, то если они образуют сходящуюся прогрессию, и в сумме равны некоторой константе, то интеграл сходится.

Есть примеры расходящихся несобственных интегралов.

Пример. = = . Здесь расходимость из-за неограниченности первообразной.

Пример. = = = = . Но этот предел не существует, синус колеблется от -1 до 1 и при увеличении переменной его график не стремится ни к какой конкретной высоте. И хотя даже функция ограничена, несобственный интеграл расходится. Площадь криволинейной трапеции, при увеличении , то растёт, то снова убывает.

Примеры сходящихся несобственных интегралов.

Пример. = = .

Пример. = = = .

Пример. = = .

Теорема 1. Несобственный интеграл сходится первообразная на границах интегрирования имеет конечный предел.

Идея доказательства. Действительно, = = . Второе слагаемое конечное число. Первое слагаемое (предел) есть конечное число тогда и только тогда, когда разность - конечное число. То есть, сходятся именно те несобственные интегралы, где график первообразной стабилизируется по высоте, т.е. имеет конечный предел . Если интеграл 1 рода, то равносильно сходимости.

Следствие (необходимый признак сходимости).

сходится .

Действительно, если то = = .

Замечание. Это необходимый, а не достаточный признак, то есть, из сходимости следует, что f стремится к 0, но не наоборот. При могут быть как сходящиеся, так и расходящиеся интегралы, а вот если , тогда только расходящиеся.

Так, для и в обоих случаях выполнено. А тем не менее, первых из них расходится, а второй сходится.

Как мы увидели, овольно нередкой является ситуация, когда производная стремится к бесконечности, а сама функция (то есть её первообразная) в той же точке является конечной. Геометрическая интерпретация. Рассмотрим верхнюю полуокружность. При приближении к точке (1,0) касательная стремится к вертикальному положению, тангенс угла её наклона к . А при этом сама полуокружность ограничена по высоте:

Теорема 2.

1) Несобственный интеграл 1-го рода сходится ,

2) Несобственный интеграл 2-го рода сходится .

Доказательство.Сначала рассмотрим первообразную.

= = , что можно записать в виде .

Если пределы интегрирования от 1 до , то не бесконечный результат получится лишь в том случае, когда переменная в знаменателе, то есть степень , то есть , то есть .

А если пределы интегрирования от 0 до 1, то наоборот, наличие переменной в знаменателе приводит к тому, сто предел бесконечен, интеграл расходится. То есть для сходимости, надо чтобы степень была такая, чтобы переменная находилась именно в числителе. Тогда , то есть, , . Что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что в случае расходятся оба этих интеграла, так как первообразная -это логарифм, а он не ограничен ни при , ни при .

Для таких интегралов 2 рода, для сходимости надо, чтобы степень перешла в положительные, например, если у функции степень , а у первообразной на 1 больше, уже . Если же она , то после интегрирования станет , то есть ещё не переходит через 0 в положительные.

Примеры

1 рода
2 рода
			1,5		1/2	1/3

Жёлтым цветом здесь выделены сходящиеся интегралы.

Теорема 3. Признак сравнения в конечной (непредельной) форме.

Если для неотрицательных функций верно

то: если сходится , то сходится .

Действительно, если интеграл для большей функции равен C, то для меньшей он меньше чем C, то есть, не равен бесконечности.

Пример.Выяснить сходимость интеграла .

Учитывая тот факт, что при верно , получается

. Тогда < , а он сходится, так как степень знаменателя больше 1. Тогда и исходный интеграл сходится.

Ответ. Сходится.

Замечание. Аналогично тому, как мы ограничиваем сверху какой-либо сходящейся функцией, можно ограничить снизу какой-либо расходящейся функцией. Если интеграл от этой меньшей функции расходится, то и исходный тоже расходится.

Теорема 4. Признак сравнения в предельной форме.

Если , причём C отлично от 0 и от (то есть и бесконечно малые одного порядка). Тогда:

сходится тогда и только тогда, когда сходится.

Пример на признак в предельной форме.

Выяснить сходимость интеграла .

Рассмотрим для функции более просто устроенную, но эквивалентную ей , котрую можно записать в виде .

Предел их отношения равен 1:

= = = 1.

Тогда сходимость первого интеграла равносильна сходимости второго, то есть можно рассматривать . Степень , поэтому интеграл сходится.

Эти признаки позволяют сравнивать интегралы, содержащие громоздкие функции, с какими-то более простыми «эталонными», например, степенными.