Криволинейные и поверхностные интегралы от векторных функций

Пусть в каждой точке пространства, и в частности, на кривой (или на поверхности), задана векторная функция , которая состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:

= .

Пусть параметрически задана некоторая кривая. В каждой её точке существует вектор, расположенный на касательной, обозначаемый и равный . (это хорошо известный из физики вектор скорости ). Если скалярно умножить на , получим числовую величину в каждой точке кривой.

Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на кривой) задана ограниченная и непрерывная векторная функция . Введём разбиение кривой на n частей, возьмём на каждой из этих частей по одной точке . Рассмотрим интегральную сумму: . Предел таких сумм при называется криволинейным интегралом 2-го рода (от векторной функции).

Обозначается

Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой.

Формулы вычисления:

Краткая формула для запоминания: .

Здесь видно скалярное произведение двух векторов, у каждого из которых по 3 координаты: и , который также можно записать в виде .

Более подробно для вычислений на практике:

1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве правая часть формулы пример такой длинный вид: На самом деле, ничего особо сложного в вычислениях нет, надо просто в функциях все переменные выразить через по тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной .

2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: .

Пример.Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней полуплоскости, и на неё действует сила . Найти работу силы.

Решение.Так как все точки расположены на окружности, то задаём параметрически: , , .

При этом , .

= = = .