Абсолютная сходимость.

Если сходится, то сходимость интеграла называется абсолютной, а если сходится только , а расходится, тоусловной.

Сходимость в смысле главного значения.Рассмотрим функцию, заданную на всей числовой оси. Если предел

существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся «в смысле главного значения». Это понятие необходимо потому, что бывают ситуации, когда интегралы и оба расходятся, причём один равен , другой , а данный предел по симметричным интервалам существует. Так, если функция нечётна, то для любого числа .

Кратные интегралы.

Определение. Пусть дана функция , её область определения - некоторая область D в плоскости. Введём разбиение D на части двумя семействами прямых линий. В каждой части возьмём произвольную точку с координатами . Площадь обозначим . Величина называется интегральной суммой. Предел этой величины при измельчении разбиения называется двойным интегралом функции по множеству , и обозначается .

Как правило, сначала мы будем рассматривать область D - прямоугольник: , , затем произвольные области.

Геометрический смысл. Интегральная сумма означает сумму объёмов параллелепипедов, построенных на каждом из оснований , а интеграл - объём под поверхностью, которая задана уравнением .

Физический смысл.Если функция задаёт плотность какой-либо плоской пластины, то двойной интеграл - масса.

Аналогично определяется понятие тройного интеграла. Если дана функция , определённая в трёхмерной области, то её можно разбить на части с помощью трёх семейств плоскостей, выбрать по точке в каждой части, и составить интегральную сумму. То, что получается в пределе, называется тройным интегралом. . Физический смысл тройного интеграла: если функция - плотность некоторой породы, то в результате вычисления тройного интеграла получится масса.

Метод вычисления.При вычислении кратных интегралов, как двойных, так и тройных, сводят к так называемым «повторным» интегралам.

= . Также в этом случае можно применять запись вида: где дифференциал пишется именно после того интеграла, которому он соответствует. При фиксировании одной переменной, мы получаем функцию уже не двух, а одной переменной. Так, при получается . На чертеже этому соответствует сечение поверхности вдоль оси , то есть кривая. Интеграл по одной переменной при фиксированной второй, это площадь криволинейной трапеции, которая получается в сечении.

Если проинтегрировать все эти величины по второму направлению, то получится объём тела под поверхностью. Аналогично, как если разрезали бы булку хлеба на очень тонкие слои, а затем вычислили площадь каждого, и сложили все эти величины (умножая на их толщину) получили бы объём.

Пример. Вычислить интеграл , где есть квадрат: , .

Решение. = вычислили сначала «частную первообразную» по переменной , то есть ту функцию, частная производная от которой по была бы . Во внутренних скобках применяем формулу Ньютона-Лейбница по переменной .

= = . Оставшийся интеграл по переменной вычисляется обычным образом: = = .

Однако, область D может быть и не прямоугольной. Аналогично тому, как массив в программировании может быть не прямоугольным, тогда во внутреннем цикле двойного цикла границы переменные и зависят от переменной, определённой во внешнем цикле:

for i : = 1 to 10 do

for j : = 1 to i do

read (a[i,j]);

end;

end;

В случае, если область не прямоугольная, границы вложенного интеграла могут быть не числами, а зависеть от внешней переменной. Рассмотрим пример.

Пример.Вычислить , D - треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Решение.Границы фигуры по переменной это , при других значениях нет точек этого треугольника вообще. При каждом , вертикальный отрезок имеет разную высоту, сначала вообще 0, а затем чем правее, тем больше. Чем больше , тем выше отрезок по . Вертикальные отрезки внутри треугольника от высоты 0 доходят до линии . Поэтому при каждом , верно .

Интеграл будет записан в виде: .

Граница во внутреннем интеграле зависит от внешней переменной .

Границы внешнего интеграла обязательно должны быть контантами.

Во вложенной скобке, вычислится первообразная по , и будет применена формула Ньютона-Лейбница по .

= = = .

И хотя границы зависят от , они подставлены в переменную , т.е. всё равно получилась функция от , так же, как если был бы прямоуголник и границы были бы числовыми. Далее, уже обычным путём вычислим интеграл по .Итак, = = .