Несобственные интегралы от неограниченных функций

Или несобственные интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода выглядят точно так же как и определенный интеграл: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.

Если подынтегральной функции не существует в точке

Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.

Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:

Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.

Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).

* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует

Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.