Рассмотрим несколько примеров на тему «полярные координаты».

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

Решение. Так как надо вычислить площадь, то считаем .

= = = = = .

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

В декартовых координатах, этот интеграл имеет такой вид:

, что при вычислении внутреннего интеграла дало бы , в итоге привело бы к и потребовало бы ещё серию подстановок. В полярных координатах, решение гораздо более просто и удобно.

Луч находится в 1 четверти при . Радиус 1. Тогда:

= = = =

= = =

= = = .

Кстати, множители, не зависящие от , можно было сразу вынести во внешний интеграл, как видим, они всё равно умножаются на первообразную по и остаются неизменными, и выносятся во внешний интеграл по .

Пример.Вывести формулу площади сферы .

Решение.

Вспомним формулу S поверхности ,

рассмотрим верхнюю полусферу, она задана функцией: .

При этом область определения данной функции - плоская область D - это круг радиуса .

, . Тогда

=

= =

= . Теперь переходим к полярным координатам, заодно домножая на определитель Якоби .

=

(домножили и поделили на 2, чтобы образовать полный дифференциал подкоренного выражения ) .

= = =

= = . Напомним, что это площадь верхней полусферы. Соответственно, площадь всей сферы в 2 раза больше, и равна .