Множества с односвязной границей.

1. Множество, такое, что любую пару его точек можно соединить линией, состоящей из точек этого же множества, называется односвязным. Так, например, круг или квадрат - односвязные множества, а два круга, разделённые некоторым расстоянием - нет.

2. Если существуют какие-то внутренние области, не принадлёжащие множеству, то его гарница не будет односвязной. Например, кольцо как плоское множество является односвязным, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А,В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе:

Если граница односвязна, то это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, тогда каждый замкнутый контур можно стянуть в точку. Такая область - это например, круг, но не кольцо.

Далее мы будем рассматривать многие факты именно для множеств с односвязной границей.

Теорема 1. Криволинейный интеграл не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. А нам надо доказать, что циркуляция по замкнутому контуру равна 0. Возьмём замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Посколку работа силы не зависит от того, выбран путь или , то:

. Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это , то получается: .

Достаточность.

Пусть для любого замкнутого контура . Если даны какие-то точки А,В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.

,

что и требовалось доказать.

Давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.

Теорема 2. (Формула Грина) Для плоского векторного поля во множестве с односвязной границей верна формула: .

Доказательство.Спроецируем область на ось Ох, обозначим границы проекции: точки . Сама граница области тогда условно подразделяется на две линии, снизу , а сверху . Чтобы движение по замкнутому контуру происходило против часовой стрелки, надо по двигаться слева направо, а по справа налево.

Рассмотрим подробнее интеграл от функции по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан так: . Но во втором интеграле можно изменить на , сменив знак.

и их можно объединить

=

разность, которая внутри интеграла, является результатом применения формулы Ньютона-Лейбница по переменной :

запишем это в виде: .

Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к , значит, это первообразная по , а она очевидно, является первообразной от своей производной . То есть:

= а этой как раз и есть двойной интеграл по области D.

= .

Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок . Левую и правую линии, составляющие замкнутый контур, обозначим и . Правая здесь будет (она дальше от оси Оу).

Тогда = = =

= = .

Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл

.

Что и требовалось докащать.

Другими словами, формула Грина устанавливает следующий факт: циркуляция поля по границе области равна двойному интегралу от функции по плоской области. Есть и более общая формула, для 3-мерноно случая.

Пусть L - замкнутая пространственная кривая, S - поверхность, натянутая на эту кривую, т.е. кривая является краем поверхности, для наглядности представьте например, окружность и полусферу, то есть, S не обязано лежать в плоскости. Циркуляция по контуру L выражается через поверхностный интеграл по S, а именно, равна потоку ротора через S. Эта взаимосвязь выражена в формуле Стокса, которая является обобщением формулы Грина на пространственный случай.

Формула Стокса. .

В формуле Грина, в отличие от формулы Стокса, была использована лишь одна из трёх координат ротора, для плоского поля только 3-я координата отлична от 0.

Пример вычисления работы поля по единичной окружности без формулы Грина и по формуле Грина.

Способ 1. Параметрически: , , .

При этом , .

= = = .

Способ 2. . Тогда = = где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его площадь. = = .