Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

. (10.14)

Формула Бейеса. Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие A уже произошло, то условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле:

, (10.15)

где Р(А)– формула полной вероятности.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пример 1. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на три произвольно заданных вопроса.

Решение.

A – студент ответит на три произвольно заданных вопроса;

B₁ – студент подготовлен отлично;

B₂ – студент подготовлен хорошо;

B₃ – студент подготовлен посредственно;

B₄ – студент подготовлен плохо.

.

По формуле полной вероятности (10.14):

.

Пример 2.В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Решение.

A – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока;

B₁ – телевизор поступил в торговую фирму от 1-го поставщика;

B₂ – телевизор поступил в торговую фирму от 2-го поставщика;

B₃ – телевизор поступил в торговую фирму от 3-го поставщика.

.

По формуле полной вероятности (10.14):

;

Пример 3.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в 5 раз больше производительности второго. I автомат производит в среднем 75 % деталей отличного качества, а II автомат – 87 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена II автоматом.

Решение.

A – деталь отличного качества;

B₁ – деталь произведена первым автоматом;

B₂ – деталь произведена вторым автоматом.

; .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности (10.14) равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена вторым автоматом, по формуле Бейеса (10.15) равна

.

Пример 4. Имеются три одинаковые урны: I урна содержит 1 белый и 6 черных шаров, II – 3 белых и 2 черных шаров, III – 7 белых и 8 черных шаров. Из наудачу выбранной урны вынут шар. Он оказался белым. Чему равна вероятность того, что шар вынут из I урны?

Решение.

A –вынут белый шар;

B₁ – выбрана I урна;

B₂ – выбрана II урна;

B₃ – выбрана III урна.

;

.

По формуле полной вероятности (10.14):

.

.

Искомая вероятность по формуле (10.15) равна:

.