Числовые характеристики дискретной случайной величины

Если дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей вида:

X			…
P			…

то математическое ожидание величины вычисляется по формуле:

. (10.21)

Математическое ожидание величины служит характеристикой среднего значения случайной величины .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1⁰. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С)=С,где С=соnst.

2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=С∙М(Х)(С = соnst).

3⁰. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(Х+Y)=М(Х) +М(Y).

Это равенство распространяется на п случайных величин:

М(Х₁+Х₂+…+Х_п)=М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_п).

4⁰. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их математических ожиданий:

М(Х–Y)=М(Х)–М(Y).

5⁰. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y).

Это равенство распространяется на п независимых случайных величин:

М(Х₁∙Х₂∙…∙Х_п)=М(Х₁)∙М(Х₂)∙…∙М(Х_п).

Дисперсиейдискретнойслучайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

или . (10.22)

Дисперсию удобно вычислять по формулам:

или .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1⁰. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(С)=0.

2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(СХ)=С²D(Х)(С=соnst).

3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D(Х+Y)=D(Х)+D(Y).

Это равенство распространяется на п случайных величин:

D(Х₁+Х₂+…+Х_п)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_п).

4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(Х–Y)=D(Х)+D(Y).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

. (10.23)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют рассеяние возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания.