Решение типового задания

Пример 1. Найти .

Решение.Применим метод подстановки. Положим , тогда . Используя формулу (6.1), имеем

.

Пример 2. Найти .

Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим , тогда . Используя формулу (6.2), имеем

.

Пример 3. Найти .

Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (6.3):

.

Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов :

.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая х=2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например и при:

Решение этой системы дает: . Таким образом,

.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функция нескольких переменных. Основные понятия

Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут , или , или . Множество D называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида , где , множеством значений функции. Значение функции в точке называется частным значением функции и обозначается или .