Дифференцирование неявных функций

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле

при условии (7.2)

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где дифференцируемая функция переменных и , могут быть вычислены по формулам

при условии (7.3)

Экстремум функции

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , т.е. [соответственно ] для всех точек , удовлетворяющих условию , где достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть стационарная точка функции . Обозначим

и составим дискриминант Тогда:

а) если то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при

б) если то в точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).