Решение типового задания/ Найти частные производные первого порядка

Пример 1.Дана функция Найти частные производные первого порядка и .

Решение.

Пример 2. Дана функция Найти dz.

Решение.

Следовательно,

Пример 3. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где .

Воспользуемся формулой (*), предварительно найдя и : Вычислим значения функции и частных производных в точке (27, 4):

Следовательно, .

Пример 4. Вычислить приближенно

Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где .

Воспользуемся формулой (*), предварительно найдя и : Вычислим значения функции и частных производных в точке (1, 1):

Следовательно,

Пример 5. Найти

Решение. Здесь

Найдем

Следовательно,

Пример 6. Найти и

Решение. Здесь =

Находим

Тогда

Пример 7. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка: Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда

Находим значения частных производных второго порядка в точке M:

и составляем дискриминант Следовательно, в точке заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

Пример 8. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Отсюда x=21, y=20; стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке M:

Тогда .

Так как A<0, то в точке функция имеет максимум: